Разлика между версии на „Триъгълно число“

редакция без резюме
== Формула ==
Точната формула за триъгълно число е:
:<math> T_n= \sum_{k=1}^n k = 1+2+3+ \dotsb +n = \frac{n(n+1)}{2} = {n+1 \choose 2} ,</math>
: <math />
където <math>\textstyle {n+1 \choose 2}</math> е [[Биномен коефициент|биномен коефицент]]. Той представлява броят на неповтарящите се двойки, които могат да бъдат избрани от ''n'' + 1 елемента.
 
Първото уравнение може да се илюстрира с помощта на следното доказателство. За всяко триъгълно число <math /> си представете полу-квадратно разположение на елементите, съответстващи на триъгълното число, като на фигурата по-долу. Копирайте тази подредба и я завъртете, създавайки правоъгълник с удвоен брой елементи, с размери <math />. Триъгълно число е винаги точно половината от броя на елементите в такава фигура, или: <math />. Например <math /> се илюстрира по този начин:
{| cellpadding="7"
|<math> 2T_4 = 4(4+1) = 20 </math> (зелени плюс жълти) означава, че <math>T_4 = \frac{4(4+1)}{2} = 10 </math> (зелени).
|[[Файл:Illustration_of_Triangular_Number_T_4_Leading_to_a_Rectangle.png]]
|}
 
Най-просто сумата от две последователни триъгълни числа е [[квадратно число]], със сума равна на квадрата от разликата на двете числа (следователно, разликата в двете е корен квадратен от сумата). Алгебрически,
: <math />
: <math>T_n + T_{n-1} = \left (\frac{n^2}{2} + \frac{n}{2}\right) + \left(\frac{\left(n-1\right)^2}{2} + \frac{n-1}{2} \right ) = \left (\frac{n^2}{2} + \frac{n}{2}\right) + \left(\frac{n^2}{2} - \frac{n}{2} \right ) = n^2 = (T_n - T_{n-1})^2.</math>
Графично това се представя така:
{| class="" cellpadding="7"
|}
Има безкрайно количество триъгълни числа които са едновременно и квадратни числа; например, 1, 36, 1225. Някои от тях могат да бъдат получени с помощта на обикновена рекурсивна формула:
: <math>S_{n+1} = 4S_n \left( 8S_n + 1\right)</math> с <math>S_1 = 1.</math>
 
Всички квадратни триъгълни числа се намират от рекурсията
: <math>S_n = 34S_{n-1} - S_{n-2} + 2</math> с <math>S_0 = 0</math> и <math>S_1 = 1.</math>
 
 
== Източници ==
<references />
 
{{Превод от|en|Triangular number|821645269}}
[[Категория:Числови редици]]
[[Категория:Триъгълници]]