Риманова геометрия: Разлика между версии
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
м {{редактирам}} |
още има, но засега толкова |
||
Ред 1:
{{обработка|да се огледа до края: дължина на дъга, ъгъл, обем, успоредност, сечение...}}
'''Римановата геометрия''', още наричана ''геометрия на Риман'', е една от [[неевклидова геометрия|неевклидовите геометрии]], предложена от немския математик [[Бернхард Риман]]. Представлява многомерно обобщение на [[вътрешна геометрия|вътрешната геометрия]] на двумерна [[повърхнина]] в тримерното [[евклидово пространство]].
В основата на римановата геометрия стоят три идеи:
# Идеята, че изобщо е възможна [[геометрия]], различна от [[евклидова геометрия|евклидовата]] — тази идея вече била лансирана от [[Николай Лобачевски|Лобачевски]] и [[Янош Бойяй|Бойяй]] (1825-1826 г.)
# Представата за вътрешна геометрия на повърхнина, предложена от [[Карл Фридрих Гаус|Гаус]], който разработва и аналитичния ѝ апарат.
# Идеята за [[многомерно пространство]], предложена през първата половина на 19 век от [[Херман Грасман|Грасман]] и разработена от други геометри.
В своята лекция ''"За хипотезите, лежащи в основата на геометрията"'' (от 1854 г., публикувана през 1867 г.) Риман съчетава тези три идеи, като дава нова дефиниция на понятието за математическо пространство като непрекъсната съвкупност от произволен род еднотипни обекти, служещи за "точки" (т.е. нула-мерни обекти) в това пространство, внасяйки и идеята за измерване на дължини "с малки стъпки".
Лекцията на Риман привлякла вниманието на много математици, които допринесли към изграждането на аналитичния апарат и теоремите, валидни в римановата геометрия. Тя на свой ред се оказва предпоставка за нови научни открития. В края на 19 век [[Грегорио Ричи-Курбастро|Ричи-Курбастро]] и [[Тулио Леви-Чивита|Леви-Чивита]] формулират на тази основа своето [[тензорно смятане]]. Решаващо значение обаче има приложението на римановата геометрия в [[обща теория на относителността|общата теория на относителността]] на [[Алберт Айнщайн|Айнщайн]].
Иначе казано, римановата геометрия е раздел на [[диференциална геометрия|диференциалната геометрия]], в който главен обект на изследване се явяват ''римановите пространства'', или още ''пространства с риманова метрика''. Към строгото определение на риманово пространство може да се подходи със следния пример:
* Положението на [[точка]] в ''n''-мерно [[многообразие]] се определят чрез [[координати]]те <math>x^1, ..., x^n</math>. В евклидовото ''n''-мерно пространство разстоянието между всеки две точки <math>X_1, X_2</math> се пресмята по формулата <math> s(X_1, X_2) = \sqrt{\sum_{i} (\Delta x^i)^2} </math>, където <math> \Delta x^i </math> е разликата между съответните координати на <math>X_1, X_2</math> при <math>i = 1, ..., n</math>.
* Пренасяйки се в римановото пространство, в околност на всяка точка ''А'' могат да се въведат координати <math>x^1, ..., x^n</math>, такива, че разстоянието между точките <math>X_1, X_2</math> в околност на ''А'' да се изразява по формулата <math> s(X_1, X_2) = \sqrt{\sum_{i} (\Delta x^i)^2 + \varepsilon} </math>, където при <math>X_1, X_2</math> приближаващи се към ''А'' е изпълнено условието <math> \frac{\varepsilon}{s(X_1, X_2)} \to 0 </math>. Оттук следва, че в произволни координати, разстоянието между близки точки <math>(x^i)</math> и <math>(x^i + dx^i)</math>, или другояче казано [[диференциал (математика)|диференциалът]] на дължината на дъгата от [[крива]]та се задава посредством израза <math>ds = \sqrt{\sum_{i,j} g_{ij} dx^i dy^i} </math>, където коефициентът <math>g_{ij} = g_{ij}(x^1, ... x^n)</math> е ненулева функция на координатите. Диференциалът на дължината на дъгата от кривата <math>ds</math> се нарича ''линеен елемент на римановото пространство''.
В оригиналния си вид римановата геометрия изисква линейният елемент <math>ds^2</math> да е винаги положителен, което изискване отпада с прилагането ѝ към теорията на относителността.
Макар че римановата геометрия борави с ''n''-мерни многообразия, в практиката тя често бива сведена до случая на ''n''=2, в който аналогът на [[равнина (математика)|равнината]] от евклидовата геометрия е [[сфера]], а на линията от равнината — [[окръжност]] върху сферата. Този частен случай на римановата геометрия е известен с наименованието ''[[елиптична геометрия]]''. Тя се различава от евклидовата по Петия постулат на Евклид, който в случая бива заменен от постулата, че през точка, нележаща на дадена права не може да се построи права [[успоредност|успоредна]] на дадената. Невалиден е и Вторият постулат на Евклид, който гласи, че всяка права може да бъде безкрайно разтегляна в двете посоки.
== Понятие ==
В '''римановата геометрия''' [[риман]]ова повърхност (M, g) е реална диференцируема повърхност М, в която
Това позволява да се дефинират и изчисляват различни понятия като: [[ректификация|дължина на
Всяко непрекъснато подмножество на риманова повърхнина (M, g) притежава своя собственна риманова измерителна единица g.
== Свързани понятия ==
Line 21 ⟶ 36:
*[[диференцируемост]]
*[[монотонност]]
[[Категория:Геометрия]]
| |||