Риманова геометрия: Разлика между версии

В своята лекция ''"За хипотезите, лежащи в основата на геометрията"'' (от 1854 г., публикувана през 1867 г.) Риман съчетава тези три идеи, като дава нова дефиниция на понятието за математическо пространство като непрекъсната съвкупност от произволен род еднотипни обекти, служещи за "точки" (т.е. нула-мерни обекти) в това пространство, внасяйки и идеята за измерване на дължини "с малки стъпки".<ref>''"Лексикон Математика"'', Георги Симитчиев, Георги Чобанов, Иван Чобанов, ИК Абагар, София, 1995, ISBN: 954-584-146-Х</ref>

* Пренасяйки се в римановото пространство, в околност на всяка точка ''А'' могат да се въведат координати <math>x^1, ..., x^n</math>, такива, че разстоянието между точките <math>X_1, X_2</math> в околност на ''А'' да се изразява по формулата <math> s(X_1, X_2) = \sqrt{\sum_{i} (\Delta x^i)^2 + \varepsilon} </math>, където при <math>X_1, X_2</math> приближаващи се към ''А'' е изпълнено условието <math> \frac{\varepsilon}{s(X_1, X_2)} \to 0 </math>. Оттук следва, че в произволни координати, разстоянието между близки точки <math>(x^i)</math> и <math>(x^i + dx^i)</math>, или другояче казано [[диференциал (математика)|диференциалът]] на дължината на дъгата от [[крива]]та се задава посредством израза <math>ds = \sqrt{\sum_{i,j} g_{ij} dx^i dy^i} </math>, където коефициентът <math>g_{ij} = g_{ij}(x^1, ... x^n)</math> е ненулева функция на координатите. Диференциалът на дължината на дъгата от кривата <math>ds</math> се нарича ''линеен елемент на римановото пространство''.<ref>''"Большая совесткая энциклопедия"'', том. 22</ref>