Разлика между версии на „Триъгълно число“

редакция без резюме
[[Файл:First_six_triangular_numbers.svg|мини|Първите шест триъгълни числа]]
'''Триъгълно число'''<ref>[http://nauka.offnews.bg/news/Matematika_18/Kak-da-prebroim-chislata-bez-da-gi-broim-ili-zashto-matematikata-e-kr_71339.html Как да преброим числата, без да ги броим или защо математиката е красива]</ref> е общият брой еднакви елементи, които подредени образуват [[равностранен триъгълник]], като в схемата в дясно. Триъгълното число ''n'' е сумата на точките в равностранен триъгълник със страни ''n'' точки и е равно на сумата от  първите ''n'' [[Естествено число|естествени числа]]. Числото 0 (нулево триъгълно число) също се приема за триъгълно число на триъгълник със страна 0 (''n''=0). Първите (до ''n''=36) триъгълни числа (последователност [[oeis:A000217|A000217]] в [[:en:On-Line_Encyclopedia_of_Integer_Sequences|OEIS]]) са
: 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, ...
 
== Формула ==
Точната формула за триъгълно число е:
:<math> T_n = \sum_{k=1}^n k = 1+2+3+ \dotsb +n = \frac{n(n+1)}{2} = {n+1 \choose 2} ,</math>,
където <math>\textstyle {n+1 \choose 2}</math> е [[Биномен коефициент|биномен коефицент]]. Той представлява броят на неповтарящите се двойки, които могат да бъдат избрани от ''n'' + 1 елемента.
 
== Връзка към други фигурни числа ==
Триъгълните числа имат широк спектър от връзки с другите фигурни числа.
* Произведението на две последователни естествени числа е [[правоъгълно число]].
<math> P_n = {n(n+1)} = {n^2+n} = T_n \times 2</math>
 
Така ''n-''тото правоъгълно число е двойно по-голямо от ''n''-тото триъгълно число.
Най-просто сумата от две последователни триъгълни числа е [[квадратно число]], със сума равна на квадрата от разликата на двете числа (следователно, разликата в двете е корен квадратен от сумата). Алгебрически,
* Сумата от две последователни триъгълни числа е [[квадратно число]].
:<math>T_n + T_{n-1} = \left (\frac{n^2}{2} + \frac{n}{2}\right) + \left(\frac{\left(n-1\right)^2}{2} + \frac{n-1}{2} \right ) = \left (\frac{n^2}{2} + \frac{n}{2}\right) + \left(\frac{n^2}{2} - \frac{n}{2} \right ) = n^2 = (T_n - T_{n-1})^2.</math>
Най-просто сумата от две последователни триъгълни числаТо е [[квадратно число]], със сума равнаравно на квадрата от разликата на двете числа (следователно, разликата в двете е корен квадратен от сумата). Алгебрически,
:<math>T_n + T_{n-1} = \left (\frac{n^2}{2} + \frac{n}{2}\right) + \left(\frac{\left(n-1\right)^2}{2} + \frac{n-1}{2} \right ) = \left (\frac{n^2}{2} + \frac{n}{2}\right) + \left(\frac{n^2}{2} - \frac{n}{2} \right ) = n^2 = (T_n - T_{n-1})^2.</math>
 
Графично това се представя така:
 
Всички квадратни триъгълни числа се намират от рекурсията
:<math>S_n = 34S_{n-1} - S_{n-2} + 2</math> с <math>S_0 = 0</math> и <math>S_1 = 1.</math>
 
== Триъгълни репдиджит числа ==
[[Репдиджит]] е естествено число, състоящо се само от една и съща [[цифра]].
 
Според последователност [http://oeis.org/search?q=A045914&language=english&go=Search A045914] в OEIS има само 7 числа, които са едновременно триъгълни и репдиджит:
 
<code>0, 1, 3, 6, 55, 66, 666</code>
 
В случая участват и едноцифрени числа, защото технически те са репдиджит само от една цифра.
 
== Вижте също ==
* [[Правоъгълно число]]
* [[Квадратно число]]
 
== Източници ==