Хилбертово пространство: Разлика между версии
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
Редакция без резюме |
|||
Ред 1:
{{Обработка|форматиране,препратки,}}
[[Файл:Standing waves on a string.gif|мини|Положението на вибрираща струна може да бъде моделирана като точка в Хилбертово пространство. Разлагането на вибриращата струна в отделни [[обертон]]ове е дадено от проекцията на точката върху координатни оси в пространството.]]
'''Хилбертово пространство''' (ХП) е понятие в [[математика]]та обобщаващо [[Евклидово пространство|Евклидовото пространство]]. Наречено е на [[Давид Хилберт]], който пръв въвежда
Хилбертовото пространство разширява методите на векторната алгебра от двумерната равнина и тримерното пространство към многомерните пространства.
Line 7 ⟶ 8:
Ако трябва да го дефинираме с по-строги математически термини, Хилбертовото пространство е векторно пространство, в което разстоянията и ъглите могат да бъдат измерени и, което е пълно. Тоест за всяка редица от вектори на [[Коши]] съществува граница в пространството.
В общия случай ХП е безкрайномерно, линейно и векторно пространство над комплексните числа <math>\textstyle{\mathbb{C}}</math> със скаларно произведение, относно което то е пълно.
Пространствата на Хилберт се използват широко в математиката и физиката. Те са изключително важен инструмент в теорията на частните диференциални уравнения, квантовата механика и обработката на сигнали. Благодарение на тази теория бяха достигнати
Геометрическата интуиция играе важна роля в много от насоките на Хилбертовото пространство. Елемент от Хилбертово пространство може да бъде еднозначно зададен посредством координатите спрямо ортонормирана координатна система, по аналогия с декартовите координати в равнината. Когато базовата координатна система е безкрайна, това означава че Хилбертовото пространство е безкрайна последователност от квадратни суми. Линейните оператори в Хилбертово пространство са съвсем конкретни обекти. В най-добрите случаи те са трансформации, които разширяват пространството с даден фактор във взаимно перпендикулярни посоки.
== Дефиниция и примери ==
Пространство на Хилберт е реално или комплексно векторно пространство, което е пълно и в което модула се определя от скаларното произведение
<math>
== Събиране ==
Две Хилбертови пространства
<math>H_1\oplus H_2</math>,
състоящо се от множеството от всички подредени двойки (x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>) където x<sub>i</sub> ∈ H<sub>i</sub>, i = 1,2,
<math>\langle (x_1,x_2), (y_1,y_2)\rangle_{H_1\oplus H_2} = \langle x_1,y_1\rangle_{H_1} + \langle x_2,y_2\rangle_{H_2}</math>.
Line 35 ⟶ 36:
<math>x=(x_i\in H_i|i\in I) \in \prod_{i\in I}H_i</math>
от Декартови произведения от H<sub>i</sub>, такива че
<math>\sum_{i\in I} \|x_i\|^2 < \infty</math>.
Line 43 ⟶ 44:
<math>\langle x, y\rangle = \sum_{i\in I} \langle x_i, y_i\rangle_{H_i}</math>.
Всяко от пространствата H<sub>i</sub> е включено като затворено подпространство в директните суми на всички
Нещо повече, пространствата H<sub>i</sub> са взаимно [[Ортогоналност|ортогонални]].
== Източници ==
<references />
[[Категория:Физика]]
| |||