Разлика между версии на „Ред на Тейлър“

м
Грешки в статичния код: Неправилно вложен таг с различно визуализиране в HTML5 и HTML4
м (replaced: синуссинус (2) редактирано с AWB)
м (Грешки в статичния код: Неправилно вложен таг с различно визуализиране в HTML5 и HTML4)
[[Картинка:sintay.svg|мини|300п|Колкото по-голяма е степента на реда на Тейлър, толкова по-близо са неговите стойности до истинската функция. Тук е показана графиката на <fontspan colorstyle="color:#333333"><math>\sin x</math></fontspan> и развития по Тейлър от степен <fontspan colorstyle="color:red">1</fontspan>, <fontspan colorstyle="color:orange">3</fontspan>, <fontspan colorstyle="color:yellow">5</fontspan>, <fontspan colorstyle="color:green">7</fontspan>, <fontspan style="color=:blue">9</fontspan>, <fontspan colorstyle="color:indigo">11</fontspan> и <fontspan colorstyle="color:violet">13</fontspan>.]]
 
'''Ред на Тейлър''' или '''Развитие по Тейлър''' е [[апроксимация]] на [[Реално число|реална]] или [[Комплексно число|комплексна]] [[функция]] чрез представянето ѝ като [[безкраен ред]] с общ член, изчислен от стойностите на [[Производна|производните]] на функцията в дадена точка. Това е възможно като пряко следствие на [[Теорема на Тейлър|теоремата на Тейлър]].
 
Ако функцията е безброй пъти диференцируема в [[интервал (математика)|отворения интервал]] (''a'' &minus; ''r'', ''a'' + ''r''), тогава нейното развитие по Тейлър е [[степенен ред|степенният ред]]
</math>
 
''(Тук f<sup>(''n'')</sup>(a) e n-тата производна на функцията, като нулевата е самата функция)''
 
Редът е кръстен на [[Англия|английския]] [[математик]] [[Брук Тейлър]]. В случаите, когато ''a'' = 0, редът се нарича '''ред на Маклорен''' по името на [[Шотландия|шотландския]] математик [[Колин Маклорен]] (Colin Maclaurin).
Функции, които са точно равни на развитието си по Тейлър в произволна точка ''a'', се наричат [[аналитични функции]]. Пример за такива са [[Тригонометрична функция|тригонометричните функции]] [[Синус (математика)|синус]] и [[косинус]]. Редът на Тейлър може да се използва, за да се получат всички стойности на аналитична функция, ако се знаят нейната стойност и стойностите на всичките ѝ производни в дадена точка.
 
На графиката вдясно е илюстрирано развитието по Тейлър на sin ''x''. Жълтата крива е от седма степен и е графика на
 
:<math>\sin\left( x \right) \approx x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}. </math>
* Доказателство на теореми от математическия анализ.
 
== История ==
Най-ранните ползвания на степенни редове, включително и някои развития по Тейлър, са от XIV век, от [[Индия|индийския]] математик Мадхава Сангамаграма. Той използва апроксимации по Тейлър за [[Синус (математика)|синус]], [[косинус]], [[тангенс]] и [[аркустангенс]], но не генерализира редовете.
 
[[Колин Маклорен]] изследва специалния случай във втората половина на XVII век.
 
== Развитие на някои прости функции ==
* [[Експоненциална функция]] и [[естествен логаритъм]]:
 
:<math>\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}\quad,\forall x</math>
 
:<math>\operatorname{tg} x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + ..
,\left| x \right| < \frac{\pi}{2}</math>
 
 
:<math>\operatorname{arctg} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\quad, \left| x \right| \leq 1</math>
 
 
* [[Хиперболична функция|Хиперболични функции]]:
:<math>\mathrm{arctgh} \left(x\right) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1}\quad, \left| x \right| < 1</math>
 
== Изчисляване ==
Има редица методи за изчисляване на реда на Тейлър за голям брой функции. Редът може да се ползва както е даден за основните функции, а усилията да се насочат в генерализирането на коефициентите. Освен това, тъй като редът на Тейлър в общия случай е степенен, може да се използват неговите свойства за свободно умножение, деление, събиране и изваждане на основните редове. В някои случаи е най-доброто решение е редът да се интегрира няколко пъти [[интегриране по части|по части]].
 
== Вижте също ==
* [[Теорема на Тейлър]]
* [[Нютонов бином]]
 
== Външни препратки ==
* [http://mathworld.wolfram.com/TaylorSeries.html Ред на тейлър в MathWorld]
* [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Projects/Pearce/Chapters/Ch9_3.html История на Мадхава Сангамаграма ]