Производна: Разлика между версии

10 байта изтрити ,  преди 4 години
м
Грешки в статичния код: Неправилни параметри на файлове; форматиране: 7x заглавие-стил (ползвайки Advisor)
мРедакция без резюме
м (Грешки в статичния код: Неправилни параметри на файлове; форматиране: 7x заглавие-стил (ползвайки Advisor))
{{без източници}}
[[File:Tangent to a curve.svg|thumb|200px|width=150|length=150|Графиката на функция (в черно) и [[допирателна]]та (в червено). [[Диференчно частно|Диференчното частно]] на допирателната е равно на производната в дадената точка.]]
 
'''Производна на функция''' е основно понятие в диференциалното смятане, което характеризира скоростта на изменение на [[функция]]та. Функция, която има производна, се нарича '''диференцируема'''. Понятието е въведено от Нютон и Лайбниц независимо един от друг.
 
== Определение ==
Нека функцията ''y'' = ''f''(''x'') е дефинирана в точка ''x''<sub>0</sub> от дефиниционната си област. Нарастването на аргумента (означава се &Delta;x) в този случай се определя като x&minus;x<sub>0</sub>, а нарастването на функцията (&Delta;y) – като ''f(x)&minus;f(x<sub>0</sub>)''. Тогава, ако съществува [[граница (математика)|граница]] <math>\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}</math>, то тя се нарича '''производна''' на функцията ''f''(''x'') в точката ''x''<sub>0</sub>'''.
 
Частното <math>\frac{\Delta y}{\Delta x}</math> се нарича '''диференчно частно'''.
Функция, която има производна в точка ''x'', се нарича диференцируема в точка ''x''. Математическото действие, с което се намира производната на една функция, се нарича ''диференциране''.
 
== Означения при диференциране ==
Съществуват различни начини за означаване на производните при диференциране.
 
=== Означение на [[Готфрид_Лайбниц|Лайбниц]] ===
Означението за производна представено от [[Готфрид Лайбниц]] е едно от първите. То все още се използва когато уравнението ''y''&nbsp;=&nbsp;ƒ(''x'') се разглежда като функционална зависимост между зависимите и независимите променливи. Първата производна се означава:
 
:<math> \frac{dy}{dx} </math> (произнася се „де игрек де хикс“)
 
=== Означение на [[Жозеф_Луи_Лагранж|Лагранж]] ===
Една от най-разпространените означения при диференциране е дело на [[Жозеф Луи Лагранж]]. Първата производна се означава:
 
:<math>f'(x)\,</math> ( произнася се „еф прим хикс“)
 
=== Означение на [[Исак_Нютон|Нютон]] ===
:<math>\dot{x} = \frac{dx}{dt} = x'(t)</math>, <math>\ddot{x} = x''(t)</math>
 
=== Означение на [[Ойлер]] ===
:<math>D_x f(x) \;</math> – за първа производна,
: <math>{D_x}^2 f(x) \;</math> – за втора производна, и
# (arcctg x)&prime; = <math>-\frac{1}{1+x^{2}}</math> ([[аркускотангенс]])
 
=== Примерно пресмятане ===
Производната на функцията