Интеграл: Разлика между версии

[[File:Integral example.svg|мини|250п|Графика на р</del>еална функция <math>f(x)</math> - – площта от <math>a</math> до <math>b</math> под графиката и над абсцисната ос е определеният интеграл (в синьо).]]

'''Интегралът''' е един от основните инструменти в съвременната математика. Понятието интеграл може да се разглежда по следните начини:

Съществуват много техники за дефиниране на интеграл, които водят до различни класове от [[интегруема функция|интегруеми функции]]. Едни от най-разпространените интеграли са т.нар. [[Риманов интеграл]] и неговото абстрактно обобщение - – [[Лебегов интеграл]].

== История ==

== Същност ==

Ясно е, че не всяка функция '''<math>f</math>''' има примитивна, т.е. не всяка функция може да бъде [[производна]] на някаква друга функция. Така например, според теоремата на [[Дарбу]] (френски математик, 1842- – 1917), ако функцията <math> F:\left[a,b\right] \rightarrow \mathbb{R}</math> приема всички стойности между числата <math>f\left(a\right)</math> и <math>f\left(b\right)</math>. Следователно функцията '''<math>f</math>''' няма примитивна, ако тя има точки на прекъсване от 1 род. Функцията '''<math>f</math>''' може да няма примитивна и в други случаи, например ако тя има някои прекъсвания от 2 род. Може да се окаже, че функцията <math>f:J\rightarrow \mathbb{R}</math> няма примитивна (съответно обобщена примитивна) поради наличие на точки на прекъсване, но свиването на '''<math>f</math>''' в някой подинтервал <math>K \sub J</math>, който не съдържа въпросните точки, има примитивна (обобщена примитивна). В този случай за краткост казваме, че самата '''<math>f</math>''' има съответна примитивна в '''<math>K</math>'''. Ако '''<math>F</math>''' и '''<math>\Phi</math>''' са две примитивни на '''<math>f</math>''', то те могат да се различават само с [[адитивна константа]]. Така, ако '''<math>F</math>''' е примитивна на '''<math>f</math>''', всяка друга примитивна '''<math>\Phi</math>''' на '''<math>f</math>''' се определя от <math>\Phi \left( x \right) = F \left( x \right) + C</math>, където '''C''' е [[константа]].

== Неопределен интеграл ==

За примитивната <math>F</math> на функцията <math>f</math> е прието означението:<br>

Нека <math>F</math> е примитивна на <math>f</math> в <math>J</math> и <math>x_0 \in J</math> е фиксирана точка от интервала <math>J</math>. Тогава функцията <math>\Phi</math> определена от <math>\Phi \left( x \right) = F \left( x \right) - F \left( x_0 \right)</math>, е също примитивна на <math>f</math> в <math>J</math>, която удовлетворява условието <math>\Phi \left( x_0 \right) = 0</math>. За тази примитивна е запазено специално означение, а именно:<br>

<math display="block">\int_{x_0}^{x} f \left( t \right)\, dt = F \left( x \right) - F \left( x_0 \right)</math>

В подинтегралния израз <math>f \left( t \right)\, dt</math> променливата <math>t</math> я ''няма'', т.е. тя може да се замести с всяка друга променлива, например<br>:

<math display="block">\int_{x_0}^{x} f \left( z \right)\, dz = F \left( x \right) - F \left( x_0 \right)</math>

Не е трудно да построим примитивна '''<math>\Psi</math>''' на <math>f</math>, удовлетворяваща условието <math>\Psi \left( x_0 \right) = y_0</math>, където <math>y_0 \in \mathbb{R}</math> е произволно число. Очевидно това е функцията, определена от<br>:

Ако <math display="block">a,\Psi b\left( x \inright) = y_0 J+ \int_{x_0}^{x} f \left( a < bt \right)</math>\, числотоdt<br/math>

# Адитивност: Ако <math display="block">cI \in= I(f, \left[ a, b \right])</math>, то<br>

ВТази частност,величина акоще наричаме ''определен интеграл'' от функцията <math>a=x_0<x_1<\cdots<x_n=bf</math> е разбивка нав интервала <math>\left[ a, b \right]</math>, то<br>ако са изпълнени някои условия, например:

# Адитивност: Ако <math>c \in \left[ a, b \right]</math>, то <math display="block">I(f,\left[a,c\right])+I(f,\left[c,b\right])=I(f,\left[a,b\right])</math> В частност, ако <math>a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b</math> е разбивка на интервала <math>\left[a, b\right]</math>, то <math display="block">I(f,\left[a,b\right])=\sum_{k=0}^{n-1}I(f,\left[x_k, x_{k+1}\right])</math> Условията 1) и 2) не са достатъчни за съдържателното дефиниране на понятието интеграл, тъй като те са в сила например в тривиалния случай, когато сме положили <math>I(f,\left[a,b\right])=0</math>. Поради това се въвежда и следното условие.<br>

# Нетривиалност: Ако означим с '''1''' постоянната функция <math>x \rightarrow 1</math>, то <brmath display="block">I(1,\left[a,b\right])=b-a</math>

Лесно се проверява, че определеният интеграл по Нютон удовлетворява горните три условия.<br>

Самото понятие определен интеграл по Нютон може да се обобщи така, че да обхване практически всички важни случаи както в инженерната практика, така и в останалите приложни науки. Действително, определеният интеграл по Нютон в изложената по-горе форма не съществува, ако функцията <math>\int</math> няма примитивна в интервала <math>\left[a,b\right]</math> и в частност, ако <math>\int</math> има прекъсване от първи род. Обаче такива функции се използват понякога в математическото моделиране. Поради това е въведено и следното обобщение на понятието определен интеграл по Нютон. <br>

Да разгледаме функциите <math>\textstyle f_k :\left( {x_k,x_{k + 1} } \right) \to R\left( {k = 0,1,...,n - 1} \right)</math>, определени от <math>\textstyle f_k \left( x \right) = f\left( x \right) </math>, <math>\textstyle x \subset \left( {x_k,x_{k + 1} } \right) </math>. Тези функции са непрекъснати и следователно съществуват примитивните <math> F_k :\left( {x_0 + 0} \right) = A_k </math>, такива че <math> F^\prime_{k} = f_{k} </math>. Да предположим, че съществуват границите:

<math> display="block">F_k\left( {x_0 + 0} \right) = A_k </math>,
<math> display="block">F_k \left( {x_{k + 1} - 0} \right) = B_k </math>.
<!--
Тогава числото: