Апроксимация: Разлика между версии

'''Апроксимация''' (приближение) е [[математика|математически]] термин, с който се означава замяната на едни математически обекти с други, по-прости, но същевременно близки в някакъв смисъл до изходните. Целта на апроксимацията е да се сведе изследването на различни (неизвестни или изключително сложни) числови характеристики и качествени свойства на първоначалните обекти до работа с други обекти, чиито характеристики и свойства са вече познати или по-удобни за работа. Различни дялове на математиката имат отношение към апроксимацията, като например:

* [[геометрия]] и [[топология]], в които се разглежда апроксимацията на [[крива|криви]], [[повърхнина|повърхнини]], [[пространство|пространства]] и [[изображение|изображения]];

* [[теория на числата]], където класически пример е апроксимацията на [[ирационални числа]] с [[рационални числа|рационални]] (т.нар. [[Диофантово приближение]]).<ref>Физико-математическа и техническа енциклопедия, том 1, Издателство на БАН, София, 1990</ref>

За произволно реално <math>y</math> да означим с <math>[y]</math> най-голямото измежду целите числа <math>m \le y</math>. Така например, <math>\left[ \frac{5}{2}\right]=2</math>, <math>\left[ -\frac{5}{2}\right]=-3</math>. От това определение става ясно, че <math>[y]</math> е цяло число и че <math>0\le y-[y]<1</math>.

 

Да разгледаме числата <math>kx-[kx], (k=0,1,2...,n)</math>. Те са <math>n+1</math> на брой и лежат в интервала <math>[0,1]</math>. Разделяме последния интервал на <math>n</math> равни подинтервала <math>\Delta_1, \Delta_2,...,\Delta_n,</math> всеки от които има дължина <math>\frac{1}{n}</math>. От принципа на Дирихле следва, че съществуват две различни цели числа <math>k</math> и <math>l</math> между <math>0</math> и <math>n</math>, за които числата <math>kx-[kx]</math> и <math>lx-[lx]</math> принадлежат на един и същи интервал <math>\Delta_\nu</math>. Следователно разстоянието между тях няма да надминава <math>\frac{1}{n}</math>, т.е.

:<math>|kx-[kx]-(lx-[lx])|\le\frac{1}{n},</math>

:<math>|(k-l)x-([kx]-[lx])|\le\frac{1}{n}.</math>

Тъй като <math>k \neq l</math>, без ограничение на общността може да се предположи, че <math>k>l</math>. Освен това, <math>0 \le k \le n</math>, <math>0\le l\le n</math>, следователно <math>1\le k-l \le n</math>. Да положим <math>q=k-l</math> и <math>p=[kx]-[lx]</math>. Тогава <math>p</math> и <math>q</math> са цели числа и са в сила неравенствата <math>1\le q\le n</math>. При тези означения <math>(2)</math> добива вида <math>|qx-p|\le\frac{1}{n}</math>, откъдето след деление на двете страни с <math>q</math> се получава <math>(1)</math>. От доказаното може да се получи като следствие Теорема 2.

 

 

== Източници ==