Ентропия на Шанън: Разлика между версии

форматиране: 3x нов ред, 2x тире, интервал (ползвайки Advisor)
м (→‎Минимум и максимум на ентропията (липсата на информация): replaced: нарастн → нарасн редактирано с AWB)
(форматиране: 3x нов ред, 2x тире, интервал (ползвайки Advisor))
 
Нека обозначим вероятностите за различните събития от дадено [[вероятностно пространство]] с <math>P_i</math>. Ентропията на Шанън, която понякога се нарича и „липса на информация“, в [[Статистическа механика|статистическата механика]] е еквивалентна на [[ентропия]]та. Функцията е дефинирана по следния начин:
:<math>S = -C\sum_i^N P_i \ln P_i = C \langle \ln P_i \rangle</math>, където C е константа, чийто смисъл ще стане ясен по-късно, а N е броят на възможните резултати (в статистическата механика - – броят на възможните [[микросъстояние|микросъстояния]])
 
Нека например разгледаме ситуацията залагане на зарове. Притежателят на зара е измамник, който е обработил зара така, че да пада на определено число. Познаването на това число намалява стойността на функцията липса на информация, която понякога, за по-кратко се нарича и ентропия.
 
== Минимум и максимум на ентропията (липсата на информация) ==
 
Ако зарът ''винаги'' пада на една страна, да кажем 4, то тогава вероятността <math>P_4</math> е равна на 1, а всички други вероятности са 0. В този случай, функцията липса на информация става равна на:
:<math>S = -C\sum_i^N P_i \ln P_i = -C(P_1 \ln P_1 + P_2 \ln P_2 + P_3 \ln P_3 + P_4 \ln P_4 + P_5 \ln P_5 + P_6 \ln P_6)</math>
 
== Връзка с ентропията ==
 
Както видяхме, когато ентропията (липса на информация) е максимална, всички <math>P_i</math>-та са равни на <math>\frac{1}{N}</math>. Тогава:
:<math>S = -C \sum_i^N {1 \over N} \ln {1 \over N} </math>
 
== Смисъл на константата C ==
 
Този път измамникът играе не на зарове, а на ези-тура. Ако нямаме информация за системата, вероятността монетата на падне на ези е равна на вероятността монетата да падне на тура, <math>P_{heads} = P_{tails} = \frac{1}{2}</math>. Ако знаем на коя страна ще падне монетата, липсата на информация е нулева. В теорията на информацията, Константата С е дефинирана така, че разликата в информацията за тези два случая да е 1, т.е.:
: <math>1 = -C(\frac{1}{2}\ln\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\ln\frac{1}{2}) = C \times 2\ln 2</math>
Виждаме, че C играе ролята на „бит информация“, т.е. в теорията на информацията един бит е <math>\frac{1}{2\ln 2}</math>. Както видяхме, в статистическата механика, ролята на С се играе от <math>k_B</math>, така че един „бит ентропия“ в статистическата механика е [[константа на Болцман|константата на Болцман]], <math>k_B</math>
 
Концепцията е представена за пръв път от [[Клод Шанън]] през [[1948]] г. в неговата статия „Математическа теория на комуникациите“ ([[:en: A Mathematical Theory of Communication]]).
 
== Източници ==
 
== Външни препратки ==
* {{икона|en}} ''[http://www.essrl.wustl.edu/~jao/itrg/shannon.pdf Математическа теория на комуникациите]'' – оригиналната публикация на Шанън от [[1948]] г. Посетена на 31 юли 2008.
 
[[Категория:Дискретна математика]]