Уравнение на Шрьодингер: Разлика между версии
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
м Робот Добавяне {{без източници}} |
Редакция без резюме |
||
Ред 19:
Уравнението на Шрьодингер представлява еволюцията на вълновата функция в [[представяне на Шрьодингер]].
== Извод ==
=== Кратък евристичен извод ===
Следващият евристичен подход, макар и различен от този, който следва Шрьодингер, много добре илюстрира логиката и физическите съображения при извода.
==== Допускания ====
#Пълната [[енергия]] ''E'' на една частица е
#:<math>E = T + V = \frac{p^2}{2m}+V.</math>
#:Това е класически израз за частица с маса ''m'', където пълната енергия
#[[Фотоелектричен ефект|Хипотезата на Планк за квантите на светлината]] от 1905 г., съгласно която енергията ''E'' на фотона е пропорционална на [[честота]]та ''ν'' (или [[ъглова честота|ъгловата честота]], ''ω'' = 2π''ν'') на съответстващата електромагнитна вълна:
#:<math>E = h\nu = {h \over 2\pi} (2\pi \nu)= \hbar \omega \;,</math>
#:където [[честота]]та <math> \nu </math> на [[фотон]]а е свързана с константата на Планк ''h'',
#:и <math>\omega = 2\pi \nu;</math> е [[ъглова честота|ъгловата честота]] на вълната.
#Хипотезата на [[Вълни на дьо Бройл|дьо Бройл]] от 1924 г., съгласно която всяка частица може да бъде асоцирана с вълна, а също и че импулсът на частицата ''p'' е свързан с дължината на вълната ''λ'' (или [[вълново число|вълновото число]] ''k'') по следния начин:
#:<math>p = { h \over \lambda } =
#:където <math>\lambda\,</math> е [[дължина на вълната|дължината на вълната]], а <math>k = 2\pi / \lambda\;</math>
#:Изразявайки '''p''' и '''k''' като [[вектор]]и, имаме
#:<math>\mathbf{p} =\hbar \mathbf{k}\;.</math>
Тези три допускания позволяват да изведем уравнението само за [[плоска вълна]]. За да е валидно в общия случай е необходимо да включим в допущанията и [[принципа за суперпозицията]], като по този начин постулираме, че уравнението на Шрьодингер е
==== Изразяване на вълновата функция като комплексна плоска вълна ====
Голямото прозрение на Шрьодингер през 1925 г. е да изрази фазата на [[плоска вълна|плоската
:<math>\Psi(\mathbf{x},t) = Ae^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}- \omega t)}</math>
Line 48 ⟶ 49:
то
:<math> E \Psi = \hbar \omega \Psi =
По подобен начин от
Line 62 ⟶ 63:
:<math> p_x^2 \Psi = (\hbar k_x)^2 \Psi = -\hbar^2\frac{\partial^2}{\partial x^2} \Psi </math>
така че, отново за плоска вълна, той получава:
:<math> p^2 \Psi = (p_x^2 + p_y^2 + p_z^2) \Psi = -\hbar^2\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}\right) \Psi = -\hbar^2\nabla^2 \Psi </math>
| |||