Дзета-функция на Риман: Разлика между версии

'''Дзета-функцията на Риман''', означавана като &zeta;ζ(''s''), е обобщение за сумирането на [[безкраен ред|безкрайни редове]] от [[Дроб (математика)|дробдроби]]и. Тя носи името на [[Германия|немския]] математик [[Бернхард Риман]]. [[функция]]та е от особена важност в [[теория на числата|теорията на числата]] поради връзката и с разпределението на [[просто число|простите числа]]. Тя също има приложения във [[физика]]та<ref> Daniel Schumayer, David A. W. Hutchinson, ''Physics of the Riemann Hypothesis'', Rev. Mod. Phys. 83:307 – 330, 2011 [http://arxiv.org/abs/1101.3116 arxiv]</ref>, в [[теория на вероятностите|теорията на вероятностите]] и [[статистика]]та.

[[ImageФайл:Zeta_new.png|thumbмини|400px|<math> \zeta(s) </math> функция на Риман за три интервала на <math> \mathbf{n} \in \Z </math> .]]

'''Дзета-функцията на Риман''' &zeta;ζ(''s'') е функция на една [[комплексно число|комплексна]] променлива (традиционно отбелязвана със ''s''), която се дефинира посредством следния [[безкраен ред]] :

Този ред е [[ред на Дирихле]] и е сходящ за всички [[реално число|реални числа]] ''s''> 1. Функцията може да се додефинира за всички комплексни ''s'' &ne;≠ 1 с помощта на [[аналитично продължение]]. Риман показва това в статията си ''„Относно броя на простите числа по-малки от дадено число“'' през [[1859]] година. Той прави това на две стъпки. Първо Риман показва че редът е сходящ за всичи комплексни ''s'' с реална част Re(''s'') по-голяма от 1 и дефинира [[аналитична функция]] на проенливата ''s'' в областта {''s'' &isin;∈ '''C''' : Re(''s'') > 1} След това той показва как да продължи &zeta;ζ(''s'') за всички комплексни ''s'' различни от 1. В резултат дзета-функцията се превръща в [[мероморфна функция]] на

''s'', която е [[холоморфна функция|холоморфна]] в областта {''s''&isin;∈'''C''':''s''&ne;≠ 1} и има [[прост полюс]] в ''s''=1. Аналитичното продължение дефинира еднозначно функцията &zeta;ζ(''s'') извън първоначалната област на сходимост. В допълнение на това, Риман извежда и [[функционално уравнение]] за дзета-функцията, което дава връзка между стойността и&#768;ѝ в точките ''s'' и 1&nbsp;&minus;−&nbsp;''s''. Известната [[хипотеза на Риман]], която е формулирана във същата статия се отнася за нулите на така продължената функция. За да се подчертае, че ''s'' е ''комплексно'' число, то често се записва във вида ''s''=&sigma;σ&nbsp;+&nbsp;''it'', където &sigma;σ = Re(''s'') е [[реална част|реалната]], а ''t'' = Im(''s'') – [[имагинерна част|имагинерната]] част на ''s''.

което е изпълнено за всички комлпексни числа ''s'' освен 0 и 1. Тук, с &Gamma;Γ е обозначена [[гама-функция]]та. Тази формула се използва за построяване на аналитичното продължение на дзета-функцията. В точката ''s'' = 1, функцията има прост

&minus;2−2,&nbsp;&minus;4−4,&nbsp;… . Това са така наречените тривиални нули.

Те са тривиални в смисъл, че тяхното съществуване може да се докаже сравнително лесно (например използвайки функционалното уравнение). Всички останали нули се наричат '''нетривиални'''. Нетривиалните нули са обект на много по-голямо внимание, не само защото тяхното разпределение е много по-слабо изучено, но и защото информация за тях дава отговори на забележително много въпроси от различни области на математиката. Известно е че всички нетривиални нули лежат в отворената ивица {''s'' &isin;∈ '''C''': 0 < Re(''s'') < 1}, която се нарича '''критичната ивица'''. [[Хипотеза на Риман|Хипотезата на Риман]],

твърди, че за всяка нетривиална нула ''s'' е вярно Re(''s'') = 1/2. В теорията на дзета-функцията на Риман, множеството {''s'' &isin;∈ '''C''':

Math. Soc. (3) '''85''' (2002), pp. 565 – 633</ref> е, че &zeta;ζ(&sigma;σ+i''t'') &ne;≠ 0 ако |''t''| &ge;≥ 3 и

Този резултат е неизмеримо по-слаб от твърдението на римановата хипотеза. Той дори не гарантира, че съществува ивица {''s'' &isin;∈ '''C''': ε &le;≤ Re(''s'') &le;≤ 1-ε} извън която дзета-функцията да няма нули.

(&gamma;γ_''n'') се състои от имагинерните части на всички нули в горната полу-равнина в нарастващ ред, то

Нулата с най-малка неотрицателна имагинерна част в критичната ивица е 1/2+i14,13472514… От функционалното уравнение може да се види, че множеството на нетривиалните нули е симетрично относно правата Re(''s'') = 1/2. Също така от факта, че &zeta;ζ(''s'')=&zeta;ζ(''s''*)* за всички комплексни ''s'' &ne;≠ 1 (* означава [[комплексно спрягане]])

Реципрочната функция на дзета-функцията на Риман може да се изрази като [[ред на Дирихле]] с коефициенти [[Функция на Мьобиус|функцията на Мьобиус]] &mu;μ(''n''):