Банахово пространство: Разлика между версии

Добре познатото [[евклидово пространство]] '''K'''^''n'' с евклидова норма на ''x'' = (''x''₁, ..., ''x''_''n''), зададена с ||''x''|| = (∑∑ |''x''_''i''|²)^1/2, е банахово.

→→ '''K''', дефинирани в затворения [[интервал (математика)|интервал]] [''a'', ''b'']

става банахово, ако се зададе норма на функцията с ||''f''|| = sup { |''f''(''x'')| : ''x'' in [''a'', ''b''] }, позната и като [[супремум-норма]]. Тя е норма, понеже непрекъснатите функции в затворен интервал са ограничени. Пространството е пълно спрямо тази норма и се означава с C[''a'', ''b'']. Този пример може да се обобщи за пространството C(''X'') от всички непрекъснати функции ''X'' →→ '''K''', където ''X'' е [[компактно пространство]], или за пространството на всички ''ограничени'' непрекъснати функции ''X'' →→ '''K''', където ''X'' е [[топологично пространство]] или за множеството B(''X'') от всички ограничени функции ''X'' →→ '''K''', където ''X'' е произволно [[множество]]. В гореизброените примери функциите могат да се умножават и резултатът е фунцкия от същия вид: т.е. тези пространства са и [[банахова алгебра|банахови алгебри]].

За всяко [[отворено множество]] ΩΩ ⊆⊆ '''C''', множеството ''A''(ΩΩ) от ограничените [[аналитична функция|аналитични функции]] ''u'' : ΩΩ →→ '''C''' e комплексно банахово пространство спрямо супремум-нормата. Фактът, че равномерната граница на аналитични функции е отново аналитична е лесно следствие от [[теорема на Морера|теоремата на Морера]].

Ако ''p'' ≥≥ 1 е реално число, може да се разглежда пространството от безкрайни [[редица|редици]] (''x''₁, ''x''₂, ''x''₃, ...) от елементи на '''K''', такива че [[безкрайният ред]] ∑∑_i |''x''_''i''|^''p'' е сходящ. ''p''-ят корен от стойността на сумата се нарича ''p''-норма на редицата. Пространството, оборудвано с тази норма, е банахово и се означава с ''l^p''.

Банаховото пространство ''^∞∞'' съдържа всички ограничени редици от елементи на '''K'''; нормата на такава редица се полага като супремума на абсолютните стойности на членовете на редицата.

Ако ''p'' &ge;≥ 1 е реално число, могат да се разглеждат функциите ''f'' : [''a'', ''b''] &rarr;→ '''K''' такива че |''f''|^''p'' е [[лебегов интеграл|интегруема по Лебег]]. ''p''-ят корен на интеграла <math>\int_a^b|f(x)|^p\,dx</math> се полага за норма на ''f''. От само себе си това пространство не е банахово, понеже има ненулеви функции с норма 0. Затова се полага [[релация на еквивалентност]] по следния начин: ''f'' and ''g'' са еквивалентни [[тогава и само тогава]], когато нормата на ''f'' - ''g'' е нула. Пространството от [[съседен клас|съседни класове]] на тази релация е банахово и се означава с L^{'' p''}[''a'', ''b'']. От особена важност е да се използва лебеговия интеграл, а не римановия, понеже интегралът на Риман няма да доведе до пълно пространство. За още примери виж [[пространство Lp|L^&nbsp;''p'']].

== Дуално пространство ==

Ако ''V'' е банахово и '''K''' е съответното [[поле (алгебра)|поле]] (т. е. [[реално число|реалните]] или [[комплексно число|комплексните]] числа), то '''K''' е само по себе си банахово (използвайки [[абсолютната стойност]] за норма). Можем да дефинираме ''[[дуално пространство|дуалното пространство]]'' ''V''<nowiki>′</nowiki> като ''V''<nowiki>′</nowiki> = L(''V'', '''K'''), пространството от непрекъснатите линейни изображения в '''K'''. То е също банахово пространство (с [[операторна норма]]). Чрез него се дефинира нова [[топология]] във ''V'': [[слаба топология]].

Трябва да се отбележи, че условието за непрекъснатост е необходимо; ако ''V'' е безкрайно-мерно, съществуват линейни изображения, които са прекъснати и следователно не са [[ограничена функция|ограничени]], т. е. пространството ''V''^* от линейни изображения в '''K''' не би било банахово. Пространството ''V''* (наричано и алгебрично-дуално, за да се различава от ''V''<nowiki>'</nowiki>) също поражда слаба топология, която е по-фина от топологията, породена от дуалното пространство ''V''<nowiki>′</nowiki>&sube;⊆''V''*.

Съществува естествено изображение ''F'' от ''V'' във ''V''<nowiki>′′</nowiki> (дуалното на дуалното пространство), зададено с

за всяко <math>x\in V</math> и <math>f\in V'</math>. Понеже <math>x'</math> е функция от ''V''′ в '''K''', тя е елемент от ''V''<nowiki>′′</nowiki>. Изображението <math>F: x \mapsto x'</math> е следователно функция ''V'' &rarr;→ ''V''<nowiki>′′</nowiki>. Следствие от [[теорема на Хан-Банах|теоремата на Хан-Банах]] е, че това изображение е [[Списък на математическите атрибути#И|инективно]]; ако е и [[Списък на математическите атрибути#С|сюрективно]], банаховото пространство ''V'' се нарича [[рефлексивно пространство|рефлексивно]]. Рефлексивните пространства притежават важни геометрични свойства. Едно пространство е рефлексивно тогава и само тогава, когато дуалното му пространство е рефлексивно, което е изпълнено тогава и само тогава, когато единичното кълбо е [[Списък на математическите атрибути#К|компактно]] в [[слаба топология|слабата топология]].

Например ''l^p'' е рефлексивно за ''1<p<&infin;∞'' но ''l¹'' и ''l^&infin;∞'' не са рефлексивни. Дуалното пространство на ''l^p'' е ''l^q'', където ''p'' и ''q'' са свързани чрез зависимостта <math>\frac1p + \frac1q = 1</math>. Виж [[пространство Lp|L^&nbsp;''p'']].

за всички ''u'' и ''v'' във ''V'', където с ||*|| се означава нормата във ''V''. Така например докато <math>\mathbb{R}^n</math> е банахово спрямо всяка добре-дефинирана в него норма, то е хилбертово само спрямо евклидовата норма. По същия начин като безкрайно-мерен пример може да се посочи лебеговото пространство ''L''^''p'', което е винаги банахово, но е хилбертово, само когато ''p''&nbsp;=&nbsp;2.

Ако нормата на едно банахово пространство изпълнява горното тъждество, съответното скаларно произведение в хилбертовото пространство се задава с [[тъждество на поляризацията|тъждеството на поляризацията]]. Ако ''V'' е реално банахово пространство, това тъждество има вида

докато ако ''V'' е комплексно банахово пространство, то тъждеството има вида

Няколко важни пространства във функционалния анализ като например пространството на безкрайно-диференцируемите функции '''R''' &rarr;→ '''R''' или пространството на [[обобщена функция|обобщените функции]] в '''R''', не са банахови. Виж [[пространство на Фреше]] и [[LF-пространство]].

* [[Стефан Банах|Stefan Banach]]: [http://matwbn.icm.edu.pl/kstresc.php?tom=1&wyd=10 Théorie des opérations linéaires]. -- Warszawa 1932. (Monografie Matematyczne; 1) [http://www-irma.u-strasbg.fr/math-cgi-bin/zmen/ZMATH/en/quick.html?format=complete&type=html&an=0005.20901 Zbl 0005.20901]