Имагинерна единица: Разлика между версии

В математиката, физиката и инженерните науки '''имагинерната единица''' се означава с <math>i\,</math> &nbsp; или латинското <math>j\,</math>&nbsp; или гръцката буква ( &iota;ι ) (Виж [[#Алтернативни означения|алтернативните означения]] по-долу). Тя позволява системата на [[реални числа|реалните числа]], <math>\mathbb{R},</math> да бъде разширена до системата на [[комплексни числа|комплексните числа]], <math>\mathbb{C}.</math>&nbsp; Точната дефиниция на термина зависи от специфичния метод на разширение.

== ''<math>i</math>'' и &minus;−''<math>i</math>'' ==

Доколкото е [[полином]] (многочлен) от втора степен, а [[дискриминанта]]та му е различно от нула (т. е. няма повтарящи се корени), горното уравнение има ''две'' различни решения, които са еднакво валидни, а в конкретния случай и взаимно инверсни както адитивно, така и мултипликативно. По-точно, ако едното решение на уравнението сме означили с <math>i</math>, стойността −<math>i</math> (която не е равна на <math>i</math>) също се явява негово решение. Доколкото уравнението е единственото определение на <math>i</math>, излиза, че определението ни е двусмислено (по точно, не [[добре дефинирано]]). Въпреки това, ако изберем едното от решенията за „положително <math>i</math>", ние не получаваме противоречащи си един на друг резултати. Това е така, защото въпреки че −<math>i</math> и <math>i</math> не са ''количествено'' еквивалентни (те ''са'' отрицателни едно по отношение на друго), няма ''качествена'' разлика между <math>i</math> и −<math>i</math> (което не може да бъде казано за −1 и +1). Двете имагинерни единици имат еднакво основание да бъдат числото, чийто квадрат е −1. Ако всички публикации и учебници по математика, свързани с имагинерните или комплексните числа, бъдат пренаписани, като на всяко място, където се появява −<math>i</math>, се замести с +<math>i</math> (и следователно на всяко място, където се появява −<math>i</math>, се замести с −(−<math>i</math>) = +<math>i</math>), всички математически факти и теореми ще продължат да бъдат еднакво валидни. Разграничаването на двата корена <math>x</math> в уравнението <math>x^2 + 1 = 0</math> с означаването на единия от тях като „положителен“ е артефакт изключително на нотацията; за нито един от двата корена не може да се каже, че е по-първостепенен или фундаментален от другия.

Този резултат крие някои тънкости. По-прецизното обяснение изисква да кажем, че въпреки че комплексното [[поле (алгебра)|поле]], определено като '''R'''[''X'']/ (''X''² + 1), (виж [[комплексно число]]) е [[еднозначен|еднозначно]] до степен на [[изоморфизъм]], то ''не е'' еднозначно до степен на ''еднозначен'' изоморфизъм &mdash;— съществуват точно 2 [[автоморфизъм|автоморфизма]] на '''R'''[''X'']/ (''X''² + 1), идентичността и автоморфизмът, изобразяващ ''X'' като −''X''. (Това не са единствените автоморфизми в полето '''C''', но са единствените, които съхраняват стойностите на всички реални числа фиксирани.) Виж [[комплексно число]], [[комплексно спрягане]], [[автоморфизъм]], и [[група на Галоа]].

В този случай двусмисленият резултат произтича от геометричния избор в коя „посока“ около [[единична окръжност|единичната окръжност]] е „положителната“ ротация. По-прецизното обяснение изисква да кажем, че [[група на автоморфизъм|групата на автоморфизъм]] на SO (2, '''R''') има точно 2 елемента &mdash;— идентичността и автоморфизмът, който преобразува ротацията по часовниковата стрелка в ротация срещу часовниковата стрелка, и обратно.

* В електроинженерните науки и свързаните с тях области имагинерната единица често се записва като <math>j\,</math> за да се избегне объркване с [[електрически ток|електрическия ток]] като функция от времето, по традиция означаван с <math>i(t)\,</math> или просто <math>i.\,</math> &nbsp; Програмният език [[Python]] също използва ''j'' за означаване на имагинерната единица, докато в [[Matlab]] и двете означения ''i'' и ''j'' са свързани с имагинерната единица.

* По-внимателен подход изискват и някои учебници, където по дефиниция ''j'' = −''i'', в часност при случаите с разпространение на вълна (напр. плоска вълна, разпространяваща се надясно в направление x <math>e^{ i (kx - \omega t)} = e^{ j (\omega t-kx)} \,</math>).

* Някои текстове използват гръцката буква йота (&iota;ι) за означаване на имагинерната единиза с цел да се избегне объркване.

* [[Имагинерно число]]

* [[Комплексна равнина]]

* [http://web.archive.org/web/20070625162103/http://mathdl.maa.org/convergence/1/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=640&bodyId=1038 Трудът на Ойлер върху имагинерните корени на полиномите(en)]