Производна: Разлика между версии

450 байта изтрити ,  преди 4 години
м
унифициране - т. н. --> т.н.; козметични промени
м (Грешки в статичния код: Неправилни параметри на файлове; форматиране: 7x заглавие-стил (ползвайки Advisor))
м (унифициране - т. н. --> т.н.; козметични промени)
{{без източници}}
[[FileФайл:Tangent to a curve.svg|thumbмини|200px|Графиката на функция (в черно) и [[допирателна]]та (в червено). [[Диференчно частно|Диференчното частно]] на допирателната е равно на производната в дадената точка.]]
 
'''Производна на функция''' е основно понятие в диференциалното смятане, което характеризира скоростта на изменение на [[функция]]та. Функция, която има производна, се нарича '''диференцируема'''. Понятието е въведено от Нютон и Лайбниц независимо един от друг.
 
== Определение ==
Нека функцията ''y'' = ''f''(''x'') е дефинирана в точка ''x''<sub>0</sub> от дефиниционната си област. Нарастването на аргумента (означава се &Delta;xΔx) в този случай се определя като x&minus;xx−x<sub>0</sub>, а нарастването на функцията (&Delta;yΔy) – като ''f(x)&minus;f−f(x<sub>0</sub>)''. Тогава, ако съществува [[граница (математика)|граница]] <math>\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}</math>, то тя се нарича '''производна''' на функцията ''f''(''x'') в точката ''x''<sub>0</sub>.
 
Частното <math>\frac{\Delta y}{\Delta x}</math> се нарича '''диференчно частно'''.
Съществуват различни начини за означаване на производните при диференциране.
 
=== Означение на [[Готфрид_ЛайбницГотфрид Лайбниц|Лайбниц]] ===
Означението за производна представено от [[Готфрид Лайбниц]] е едно от първите. То все още се използва когато уравнението ''y''&nbsp;=&nbsp;ƒ(''x'') се разглежда като функционална зависимост между зависимите и независимите променливи. Първата производна се означава:
 
:<math> \frac{dy}{dx} </math> (произнася се „де игрек де хикс“)
 
=== Означение на [[Жозеф_Луи_ЛагранжЖозеф Луи Лагранж|Лагранж]] ===
Една от най-разпространените означения при диференциране е дело на [[Жозеф Луи Лагранж]]. Първата производна се означава:
 
:<math>f'(x)\,</math> ( произнася се „еф прим хикс“)
 
=== Означение на [[Исак_НютонИсак Нютон|Нютон]] ===
:<math>\dot{x} = \frac{dx}{dt} = x'(t)</math>, <math>\ddot{x} = x''(t)</math>
 
== Изчисляване на производни ==
=== Правила за диференциране ===
# Ако k е константа, то (ku)&prime; = ku&prime;ku′.
# (u+v)&prime; = u&prime;u′+v&prime;v′. Доказателство: &Delta;Δ(u+v) = u(x+&Delta;xΔx)+v(x+&Delta;xΔx)&minus;u−u(x)&minus;v−v(x) = (u(x+&Delta;xΔx)&minus;u−u(x))+(v(x+&Delta;xΔx)&minus;v−v(x)) = &Delta;uΔu+&Delta;vΔv.
# (u &middot;· v)&prime; = u&prime;u′ &middot;· v + u &middot;· v&prime;v′. Доказателство: &Delta;Δ(u &middot;· v) &rarr; u(x + &Delta;xΔx) &middot;· v(x + &Delta;xΔx) – u(x) &middot;· v(x) &rarr; (u(x) + &Delta;uΔu) &middot;· (v(x) + &Delta;vΔv) – u(x) &middot;· v(x) &rarr; u(x) &middot;· v(x) + u(x) &middot;· &Delta;vΔv + v(x) &middot;· &Delta;uΔu + &Delta;uΔu &middot;· &Delta;vΔv – u(x) &middot;· v(x) &rarr; u(x) &middot;· &Delta;vΔv + v(x) &middot;· &Delta;uΔu + &Delta;uΔu &middot;· &Delta;vΔv. (границата е равна на u&prime;u′ &middot;· v + u &middot;· v&prime;v′).
# <math>(h(g(x)))' = h'[g(x)] g'(x)</math>
# (uv)<sup>(n)</sup>=<math>\sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k}u^{(n-k)}v^{(k)}</math> – [[формула на Лайбниц]].
# (u/v)&prime; = (u&prime;v&minus;uv&prime;u′v−uv′)/v<sup>2</sup>. Доказателство: &Delta;Δ(u/v) = u( x + &Delta;xΔx ) / v( x + &Delta;xΔx ) &minus; u( x ) / v( x ) = ( u( x + &Delta;xΔx )v( x ) &minus; u( x )v( x + &Delta;xΔx ) ) / ( v( x )v( x + &Delta;xΔx ) ) =
( u( x + &Delta;xΔx )v( x ) &minus; u( x )v( x ) &minus; u( x )v( x + &Delta;xΔx ) + u( x )v( x ) ) / ( v( x )v( x + &Delta;xΔx) ) =
( &Delta;uΔu( x )v( x ) – u( x )&Delta;vΔv( x ) ) / ( v( x )v( x + &Delta;xΔx ) ), границата е равна на (u&prime;v&minus;uv&prime;u′v−uv′)/v<sup>2</sup>.
 
=== Производни на някои функции ===
{{Основна|Таблица на производни}}
# <math>const' = 0</math> ([[константа]]), защото нарастването на всяка константа е 0.
# (''a''<sup>x</sup>)&prime; = a<sup>x</sup> ln a, в частност, (e<sup>x</sup>)&prime; = e<sup>x</sup>
# (log<sub>a</sub>x)&prime; = 1/(x ln a) ([[логаритъм]]), в частност, (ln x)&prime; = 1/x
# (x<sup>a</sup>)&prime; = ax<sup>a&minus;1a−1</sup>
# <math>(\sqrt{x})^' = \frac{1}{2\sqrt{x}}</math>
# (sin x)&prime; = cos x ([[Синус (математика)|синус]])
# (cos x)&prime; = &minus;sin−sin x ([[косинус]])
# (tg x)&prime; = <math>\frac{1}{\cos^{2}x}</math> ([[тангенс]])
# (cotg x)&prime; = <math>-\frac{1}{\sin^{2}x}</math> ([[котангенс]])
# (arcsin x)&prime; = <math>\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}</math> ([[аркуссинус]])
# (arccos x)&prime; = <math>-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}</math> ([[аркускосинус]])
# (arctg x)&prime; = <math>\frac{1}{1+x^{2}}</math> ([[аркустангенс]])
# (arcctg x)&prime; = <math>-\frac{1}{1+x^{2}}</math> ([[аркускотангенс]])
 
=== Примерно пресмятане ===
 
== Производни от по-висок ред ==
Нека ''f''(''x'') е диференцуема функция и ''f''′(''x'') е нейната производна. Производната на ''f''′(''x'') (ако съществува) се означава като ''f''′'(''x'') и се нарича '''втора производна''' на ''f''(''x''). Също така производната на втората производна (ако съществува) се нарича '''трета производна'''. За някои функции този процес продължава и те имат четвърта и т. н. – '''производни от по-висок ред'''.
 
Функцията ''f'' може да няма производна – например, ако не е непрекъсната. Тогава тя може да няма и втора производна. Например нека
 
== Вижте още ==
* [[Функция]]
* [[Граница (математика)]]
* [[Интеграл]]
 
[[Категория:Математически анализ]]