Уикипедия

Триъгълник: Разлика между версии

Интерактивен преглед на историята
← По-стара редакцияПо-нова редакция →
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
ВизуаленУикитекст
Редакция без резюме
м унифициране - г.пр. --> г. пр.; козметични промени
Ред 4:
 
== Видове триъгълници ==
[[Файл:Euler diagram of triangle types-ru.svg|thumbмини|300px|centerцентър|Диаграма на Ойлер за видовете триъгълници.]]
В зависимост от дължините на страните си триъгълникът може да бъде:
* '''[[Равностранен триъгълник]]''' – когато дължините на трите страни са равни. В равностранните триъгълници ъглите също са равни (всеки от тях е 60°°).
* '''[[Равнобедрен триъгълник]]''' – когато дължините на две от страните са равни. Двете равни страни се наричат '''бедра''', а третата – '''основа'''. Този триъгълник има 2 равни ъгъла при основата.
* '''[[Разностранен триъгълник]]''' – когато всичките му страни са с различни дължини. Този триъгълник има три различни ъгъла.
Ред 12:
<table align="center">
<tr align="center">
<td>[[ImageФайл:Triangle.Equilateral.svg|Равностранен триъглъник]]</td>
<td>[[ImageФайл:Triangle.Isosceles.svg|Равнобедрен триъгълник]]</td>
<td>[[ImageФайл:Triangle.Scalene.svg|Разностранен триъгълник]]</td>
</tr>
<tr align="center">
Ред 22:
 
Според големината на най-големия си вътрешен ъгъл, триъгълникът може да бъде:
* '''[[Правоъгълен триъгълник]]''' е този триъгълник, който има ъгъл от 90&deg;°. Страната, срещулежаща на правия ъгъл, се нарича '''[[хипотенуза]]''' и е най-дългата страна във всеки правоъгълен триъгълник. Другите две страни се наричат '''[[катети]]'''.
* '''[[Тъпоъгълен триъгълник]]''' е този триъгълник, който има вътрешен ъгъл, по-голям от 90&deg;°.
* '''[[Остроъгълен триъгълник]]''' е този триъгълник, при който всички вътрешни ъгли са по-малки от 90&deg;°.
 
<table align="center">
<tr align="center">
<td>[[ImageФайл:Triangle.Right.svg|Правоъгълен триъгълник]]</td>
<td>[[ImageФайл:Triangle.Obtuse.svg|Тъпоъгълен триъгълник]]</td>
<td>[[ImageФайл:Triangle.Acute.svg|Остроъгълен триъгълник]]</td>
</tr>
<tr align="center">
Ред 40:
Стандартните означения в произволен триъгълник са дадени на следващия чертеж:
 
[[ImageФайл:Triangle.Labels.svg|250px|centerцентър|Триъгълник със стандартни означения]]
 
Основните понятия, свързани с триъгълниците, са представени от [[Евклид]] в книги 1 – 4 от „Елементите“ около 300 г. пр.н.е.
 
=== Неравенства в триъгълник ===
Ред 89:
 
== Точки, прави и описани окръжности ==
* '''Описана около триъгълник окръжност''' се нарича тази окръжност, която минава и през трите му върха.
[[КартинкаФайл:Triangle.Circumcenter.svg|frameрамка|rightдясно|Център на описаната окръжност]]
[[КартинкаФайл:Cercle circonscrit à un triangle.svg|мини|Правоъгълен, тъпоъгълен и остроъгълен триъгълник и описаните около тях окръжности]]
 
* '''[[Симетрала|Симетрали]]''' в триъгълник са правите линии, които са перпендикулярни на страните и минават през средите им. Трите симетрали се пресичат в точка, която е и център на описаната около триъгълника окръжност. Диаметърът на тази окръжност може да бъде намерен, като се използва синусовата теорема, посочена по-горе.
 
* '''[[Теорема на Талес|Теоремата на Талес]]''' гласи, че ако центърът на окръжността, описана около един триъгълник, лежи на една от страните на триъгълника, то срещуположният ъгъл на триъгълника е прав. Също така, ако центърът на описаната около триъгълника окръжност се намира във вътрешността на триъгълника, то триъгълникът е остроъгълен, а ако центърът е извън триъгълника, то триъгълникът е тъпоъгълен.
 
[[ImageФайл:Triangle.Orthocenter.svg|frameрамка|leftляво|Пресечната точка на височините се нарича ортоцентър]]
 
* '''[[Височина (триъгълник)|Височини]]''' в триъгълника са перпендикулярите, спуснати от върховете на триъгълника към срещуположните страни. Трите височини на всеки триъгълник се пресичат в една точка, която се нарича '''ортоцентър'''. Ортоцентърът лежи вътре в триъгълника, само ако той не е тъпоъгълен. В противен случай ортоцентърът се намира извън триъгълника.
 
[[ImageФайл:Triangle.Incircle.svg|frameрамка|rightдясно|Пресечната точка на ъглополовящите е център на вписаната в триъгълника окръжност]]
 
* '''[[Ъглополовяща|Ъглополовящи]]''' в един тръгълник са тези прави, които минават през върховете на ъглите, като ги разполовяват. Пресечната точка на трите ъглополовящи е център на '''вписаната''' в триъгълника окръжност. Вписана е тази окръжност, за която страните на описания около нея триъгълник са допирателни. Триъгълниците имат и три външно вписани окръжности, които лежат извън триъгълника. Центровете на вътрешно вписаната и външно вписаните окръжности формират ортоцентричната система на триъгълника.
<br clear=left>
[[ImageФайл:Triangle.Centroid.svg|frameрамка|leftляво|Медицентърът е центърът на тежестта]]
 
* '''[[Медиана|Медиани]]''' в триъгълника са правите, които минават през върховете и средите на срещулежащите им страни. Трите медиани се пресичат в една точка, която се нарича '''медицентър''' на триъгълника. Медицентърът разделя всяка медиана в отношение 2:1, тоест разстоянието от върха до медицентъра е два пъти по-голямо от разстоянието от медицентъра до средата на срещулежащата страна.
[[ImageФайл:Triangle.NinePointCircle.svg|frameрамка|rightдясно|9-точкова окръжност]]
 
* Средите на трите страни и петите на трите височините лежат върху една окръжност – '''[[Окръжност на деветте точки|окръжността на деветте точки]]'''. Останалите три точки са среди на отсечките от височините, които са заключени между върховете и ортоцентъра. Радиусът на тази окръжност е половината от радиуса на описаната около триъгълника окръжност.
<br clear=left>
[[ImageФайл:Triangle.EulerLine.svg|frameрамка|leftляво|Права на Ойлер]]
 
* [[Медицентър]]ът (в жълто), ортоцентърът (синьо), центърът на описаната окръжност (зелено) и центърът на 9-точковата окръжност (в червено) лежат на една права, известна като '''права на [[Леонард Ойлер|Ойлер]]''' (червената линия). Центърът на 9-точковата окръжност е средата на отсечката, свързваща ортоцентъра и центъра на описаната окръжност. Разстоянието между медицентъра и центъра на описаната окръжност е равно на половината от разстоянието между медицентъра и ортоцентъра. Центърът на вписаната окръжност не лежи на тази права.
 
* '''Средна отсечка''' на триъгълник е отсечка, съединяваща средите на две от неговите страни. Нейната дължина е равна на 1/2 от дължината на срещулежащата страна на триъгълника. Средната отсечка е успоредна на срещулежащата страна.
Ред 123:
Изчисляването на лицето на триъгълника, може да стане по няколко начина:
 
* Геометрично:
 
Лицето ''S'' на триъгълника е '''''S'''''&nbsp;=&nbsp;&frac12;'''''bh''''', където ''b'' е дължината на която и да е негова страна, а ''h'' – височината, спусната към нея.
 
<table align="center">
<tr align="center"><td>[[imageФайл:Triangle.GeometryArea.svg|Лице на триъгълник]]</td></tr>
</table>
S=a.ha:2 S=b.hb:2 S=c.hc:2
 
За да се намери лицето на триъгълника (зелено), първо се прави точно негово копие (синьо), което се завърта на 180&deg;°, и то се долепва до първия триъгълник, за да се получи успоредник. След това се отрязва излишната част и се долепва от другата страна на успоредника, за да получим правоъгълник. Тъй като лицето на правоъгълника е '''''bh''''', то лицето на триъгълника е '''&nbsp;&frac12;''bh'''''.
 
* Векторно:
 
<table align="right">
<tr align="center"><td>[[ImageФайл:Triangle.VectorArea.svg|мини|Лице на триъгълник с вектори]]</td></tr>
</table>
 
Лицето на успоредника ABCD може да бъде представено с помощта на векторното произведение |''AB''&nbsp;&times;×&nbsp;''AC''| на векторите ''AB'' и ''AC''. |''AB''&nbsp;&times;×&nbsp;''AC''|,което също е равно на |''h''&nbsp;&times;×&nbsp;''AC''|, където ''h'' представлява височината ''h'', изразена като вектор.
 
Лицето на триъгълника ABC е половината от това и тогава ''S''&nbsp;=&nbsp;&frac12;|''AB''&nbsp;&times;×&nbsp;''AC''|.
 
* С помощта на тригонометрични функции:
 
<table align="right">
<tr align="center"><td>[[ImageФайл:Triangle.TrigArea.svg|Лице на триъгълник-тригонометрия]]</td></tr>
 
</table>
 
Височината на триъгълника може да бъде намерена с помощта на тригонометрията. Ако използваме означенията на четрежа вдясно, височината е ''h''&nbsp;=&nbsp;''a''&nbsp;sin&nbsp;&gamma;γ. Замествайки h във формулата ''S''&nbsp;=&nbsp;&frac12;''bh'', лицето на триъгълника може да бъде изразено като '''''S''&nbsp;=&nbsp;&frac12;''ab''&nbsp;sin&nbsp;&gamma;γ'''.
 
Лицето на успоредника е ''ab''&nbsp;sin&nbsp;&gamma;γ.
 
* С помощта на координатна система:
 
Ако върхът A (0,&nbsp;0) е в началото на координатната система, а координатите на другите два върха са B&nbsp;=&nbsp;(''x''<sub>1</sub>,&nbsp;''y''<sub>1</sub>) и C&nbsp;=&nbsp;(''x''<sub>2</sub>,&nbsp;''y''<sub>2</sub>), тогава лицето ''S'' може да бъде изчислено като 1/2 от абсолютната стойност на детерминантата
Ред 162:
 
или
''S''&nbsp;=&nbsp;&frac12;&nbsp;|''x''<sub>1</sub>''y''<sub>2</sub>&nbsp;&minus;−&nbsp;''x''<sub>2</sub>''y''<sub>1</sub>|.
 
* [[Херонова формула]]:
Ред 175:
[[Heron's formula]] is [[Numerical_stability|numerically unstable]] for triangles with a very small angle.
A stable alternative involves arranging the lengths of the sides so that:
<i>a<i> &ge;≥ <i>b<i> &ge;≥ <i>c<i>&nbsp;
and computing
:<math>S = 1/4\sqrt{(a+(b+c)) (c-(a-b)) (c+(a-b)) (a+(b-c))}</math>
Ред 185:
 
== Аналози ==
* [[Тетраедър]]
* [[Пентахрон]]
 
[[Категория:Триъгълници|!]]
Взето от „https://bg.wikipedia.org/wiki/Триъгълник“.