Тор (геометрия): Разлика между версии
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
м →[[Обем]] на тор: Грешки в статичния код: Остарели HTML-тагове редактирано с AWB |
м Bot: Automated text replacement (-( +(); козметични промени |
||
Ред 1:
{{без източници}}
{{към пояснение|Тор|Тор}}
[[
В [[геометрия]]та '''тор''' се нарича [[ротационна повърхнина]] с форма на [[геврек]], описана при завъртането на [[окръжност]] около ос, лежаща в нейната равнина. [[Сфера]]та е частен случай на тор, получен при ос, преминаваща през центъра на окръжност.
Ред 22:
Непараметричното уравнение със същите координати и същите радиуси е на четвърта степен:
: <math>\left(
В [[топология]]та торът се определя като [[топологическо произведение|произведение]] на две окръжности ''S''¹
== [[Обем]] на тор ==
Обемът на тор се дава по формулата:
Ред 33:
<math> \ V=2 \pi^2 R r^2, </math>
Където ''V'' е обемът на тялото, ''R'' е [[радиус]]ът на развъртане на центъра на образувателната окръжност, ''r'' е радиусът на самата образувателна окръжност и ''[[Пи|<math> \pi </math>]]'' е математическа константа, равна на отношението на дължината на дадена окръжност към нейния [[диаметър]].[[
Има няколко доказателства на тази формула, едно от които е изложено тук:
Ред 49:
<math> \ S_2= \pi (R-a)^2</math>
След прилагане на [[Питагорова теорема|Питагоровата теорема]] относно ''а'', ''r'' и ''z'', за ''a'' се получава:
<math> \ a = \sqrt{r^2-z^2} </math>
Ред 67:
<math> \ S= \pi [(R + \sqrt{r^2-z^2})^2 - (R - \sqrt{r^2-z^2})^2] </math>
Разкриваме квадратите по [[
<math> \ S= \pi (R^2 + 2R \sqrt{r^2-z^2} + r^2-z^2 - R^2 + 2R \sqrt{r^2-z^2} - r^2+z^2) </math>
Ред 79:
<math> \ S= 4 \pi R \sqrt{r^2-z^2} </math>
Ако сумираме обемите на всички надлъжни сечения, ще получим обемът на фигурата, чиито сечения сумираме. Тъй като обем на надлъжно сечение е елементарен обем, тоест клони към 0, а сеченията са безброй много, няма да можем да извършим тази операция със стандартно сумиране, чрез сборуване. При пресмятания от този тип се използва [[интеграл]]ът, като сумиращ инструмент на безброй много, безкрайно малки величини. Имайки предвид, че работим по идеален тор, който няма отклонения от формата и размерите (такова тяло не съществува нито в приридата, нито в техниката!) приемаме, че радиусите на тора са постоянни величини, тоест площта на надлъжното сечение е функция само от височината на "отрязване" <math> z </math>. В [[
<math> \ V= \int\limits_{-r}^{r} S(z)\, dz </math>
Ред 99:
<math> \ {du \over dz}={d \sqrt{r^2-z^2} \over dz}</math>
Умножаваме числителя и знаменателя на [[
<math>{d \sqrt{r^2-z^2} \over dz} {d(r^2-z^2) \over d(r^2-z^2)}</math>
Ред 107:
<math>{d \sqrt{r^2-z^2} \over d(r^2-z^2)} {d(r^2-z^2) \over dz}</math>
Чрез непосредствено [[
<math> \ {du \over dz}={1 \over 2(r^2-z^2)}({dr^2 \over dz^2} - {dz^2 \over dz})={1 \over 2(r^2-z^2)}(0-2z)={-2z \over 2(r^2-z^2)}=-{z \over (r^2-z^2)}</math>
Ред 139:
<math> \ 2 \int\limits_{-r}^{r} \sqrt{r^2-z^2}\, dz=z \sqrt{r^2-z^2}\bigg|_{-r}^r+ r^2\int\limits_{-r}^{r} {1 \over \sqrt{(1-({z \over r})^2)}} d({z \over r})</math>
Тъй като интегрла вдясно е [[
<math> \ \int\limits_{-r}^{r} \sqrt{r^2-z^2}\, dz={z \sqrt{r^2-z^2}+ r^2 \arcsin({z \over r}) \over 2}\bigg|_{-r}^r</math>
| |||