Трактриса: Разлика между версии
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
м Bot: Automated text replacement (-== Използвани източници == +== Източници ==) |
м Bot: Automated text replacement (-( +(); козметични промени |
||
Ред 1:
[[
'''Трактрисата''' е равнинна [[трансцендентна крива]], дефинирана за пръв път от [[Клод Перо]] по следния начин: ''"Да се намери кривата, по която се движи хоризонтална равнина точка закрепена към края на нишка, чийто втори край се движи по права, лежаща в същата равнина"''.
Тази дефиниция може да се изкаже и по още един начин: Трактисата е [[геометрично място на точки|геометричното място]] на точка <math> M </math>, която се движи така, че частта от [[допирателна]]та към кривата в <math> M </math> между нея и пресечната точка <math> T </math> на допирателната с дадена ''направляваща'' права да е постоянно число.
Ред 7:
За направляваща права обикновено се избира или абсцисната, или ординатната ос. Направляващата представлява [[асимптота]] на трактрисата. Точката от оста, от която започва движението представлява [[рогова точка]] от първи род.
== Уравнения ==
[[
* Ако направляваща е оста ''x'', движението започва когато <math> M </math> лежи на оста ''y'' с [[координата|координати]] (0, a). Трактрисата е [[симетрия|симетрична]] относно оста ''y''. При тези условия декартовото
:<math> x = \pm \left(
: Параметричното представяне е
:<math>\begin{cases} x = a(\cos t + \ln \ tg \frac{t}{2}) \\ y = a \sin t \end{cases}</math>
Ред 16:
: <math> \frac{dy}{dx} = - \frac{y}{\sqrt{a^2 - y^2}} </math> .
----------
[[
* Ако направляваща е оста ''y'', движението започва когато <math> M </math> лежи на оста ''x'' и има координати (a, 0). Трактрисата е симетрична относно оста ''x'' и декартовото
: <math> y = \pm \left(
: Трактрисата може да се опише и с диференциално уравнение
: <math> \frac{dy}{dx} = - \frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{x} </math>
Ред 28:
* Когато направляваща е оста ''x'', дължината на дъгата от роговата точка (с координати (0, а)) до точка върху трактрисата с координати (x,y) е равна на <math> l = a.\ln\left(\frac{a}{y}\right) </math> .
* Отново при ''x'' направляваща, радиусът на кривината на трактрисата в точка с координати (x,y) е <math> R = a.\operatorname{ctg} \frac{x}{y} </math> .
* Лицето на областта заключена между трактрисата и асимптотата
* [[Еволюта]]та на трактриса е кривата, наречена "[[верижка]]" (или "верижна линия").
* Чрез завъртане на трактрисата около асимптотата се получава [[ротационна повърхнина]], наречена [[псевдосфера]], отличителна с постоянната си отрицателна кривина. Тя е подходяща за модел на [[Неевклидова геометрия|неевклидовата]] [[хиперболична геометрия]] на [[Николай Лобачевски|Лобачевски]].
== История ==
Наименованието трактриса е оправдано: от лат. trahere - "дърпам", "тегля". Перо въвежда кривата през [[1693]] г., и още през същата година [[Кристиан Хюйгенс]] и [[Готфрид Лайбниц]] я изследват. Хюйгенс обобщава кривата за случаите, когато направляващата е различна от [[права]] (напр. трактриса на окръжността, трактриса на паралобата).
| |||