Многообразие: Разлика между версии
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
м whitespaces |
м интервал; козметични промени |
||
Ред 1:
[[
В [[математика]]та, '''многообразие''' е [[топологично пространство|пространство]], което "отблизо" прилича на пространствата описани в [[евклидова геометрия|евклидовата геометрия]], но което глобално може да има много по-сложна структура. (Евклидовите пространства, обаче, също са многообразия.) Важно при разглеждане на многообразията е понятието [[размерност]]. Например, [[права]]та е едномерно, а [[Равнина (математика)|
В едномерните многообразия всяка точка има околност, която прилича на отсечка. Примери за едномерни многообразия са правата, [[окръжност]]та, или двойка окръжности. В двумерните многообразия околността на всяка точка прилича на [[кръг]]. Пример за такива са равнината, повърхността на [[сфера]]та, повърхността на [[Тор (геометрия)|тора]]. Размерността може и да е по-голяма, например [[пространство-време]]то в [[обща теория на относителността|общата теория на относителността]] е четиримерно многообразие.
Ред 13:
== Мотивационен пример: окръжност ==
[[
[[Окръжност]]та е най-простия пример за топологично многообразие след евклидовото пространство. Нека е зададена окръжност с радиус 1 и център съвпадащ с центъра на координатната система. Ако ''x'' и ''y'' са координатите на точките от окръжността, то за тях ще е изпълнено ''x''² + ''y''² = 1.
Локално, окръжността прилича на права линия, която е едномерна. Иначе казано локално е нужна само една координата за описание на точките от окръжността. Например, точките от горната част на окръжността, за които ''y''-координатата е положителна (жълтата част във ''Фигура 1''), могат да се опишат чрез ''x''-координатата си. Тоест е зададена [[непрекъснатост|непрекъсната]] [[биекция]]
:<math> \chi_{\mathrm{top}}(x,y) = x. \, </math>
Такава функция се нарича ''карта''. Аналогично могат да се дефинират карти за долната (червена), лявата (синя), и дясната (зелена) части на окръжността. Заедно тези части покриват цялата окръжност, а четирите карти образуват [[Атлас (топология)|атлас]] на многообразието.
Горната и дясната карта се препокриват: тяхното сечение представлява четвъртината от окръжността за която ''x''- и ''y''-координатите са едновременно положителни. Двете карти
:<math> T(a) = \chi_{\mathrm{right}}\left(\chi_{\mathrm{top}}^{-1}(a)\right) = \chi_{\mathrm{right}}\left(a, \sqrt{1-a^2}\right) = \sqrt{1-a^2}. </math>
Такава функция се нарича ''функция на прехода''.
[[
Горната, долната, лявата и дясната карти показват, че окръжността е многообразие, но те не образуват единствения възможен атлас. Картите не е нужно да бъдат геометрични проекции, и броят им е въпрос на избор. Например могат да се изберат следните карти
Ред 37:
: <math>t = {1\over s}.</math>
Нито една от двете карти не покрива цялата окръжност: ''s'' изпуска точката (−1,0), а ''t'' - (+1,0). Може да се покаже, че не е възможно една единствена карта да покрива цялата окръжност откъдето се вижда, че дори и простите примери се нуждаят от гъвкавостта която дават на многообразията и многото карти.
[[
Многообразията не е нужно да са [[свързано пространство|свързани]] (състоящи се от едно парче): двойка отделни окръжности също е топологично многообразие. Не е и нужно те да са [[затворено множество|затворени]]:
Обаче примери като две допиращи се окъжности, които образуват 8 не са многообразия, защото не може да се конструира задоволителна карта изпращаща околност на общата точка в отворен интервал. <!-- Който разбира това да го преведе (A different view is taken in [[algebraic geometry]], where [[complex number|complex]] points on the quartic curve ((''x'' − 1)² + ''y''² − 1)((''x'' + 1)² + ''y''² − 1) = 0, whose [[real number|real]] points alone form a pair of circles touching at the origin, are considered.) -->
От гледна точка на диференциалното смятане, функцията на прехода ''T'' е функция между два отворени интервала, която е [[производна|диференцируема]]. Същото е вярно и за другите функции на прехода в атласа. Следователно с този атлас, окръжността се превръща в ''[[диференцируемо многообразие]]''. Всъщност тя е още
Окръжността също притежава свойства, които позволяват тя да се разглежда като по-особен тип многообразие. По нея могат да се мерят растояния между точки: дължината на дъгата между две точки. Следователно тя е и
== Математическа дефиниция ==
Ред 55:
== Литература ==
* Грозьо Станилов, ''Диференциална геометрия'', София (изд. Тилия) 1997 ISBN 954-8706-73-3
[[Категория:Геометрия]]
| |||