Делта-функция: Разлика между версии
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
Нова страница: „Файл:Dirac distribution PDF.svg|325п|мини|Схематично представяне на делта-функцията чрез стрелка вър...“ |
мРедакция без резюме |
||
Ред 1:
[[Файл:Dirac distribution PDF.svg|325п|мини|Схематично представяне на делта-функцията чрез стрелка върху права. Височината на стрелката
[[Файл:Dirac function approximation.gif|мини|Делта-функцията като границата на редица на [[нормално разпределение]] с нулев център <math>\delta_a(x) = \frac{1}{\left|a\right| \sqrt{\pi}} \mathrm{e}^{-(x/a)^2}</math> {{nowrap|1=когато <math> a \rightarrow 0</math>.}}]]
[[Файл:Dirac comb.svg|мини|Гребенът на Дирак е безкраен ред от делта-функции на интервал ''T''.]]
Ред 18:
Следва да се отбележи, че това е само [[Евристика|евристична характеризация]]. Дираковата функция не е функция в традиционния смисъл, тъй като никой функция, определена в областта на реалните числа няма тези свойства.<ref name="Dirac 1958 loc=§15">{{harvnb|Dirac|1958|loc=§15}}</ref> В по-строг смисъл, делта-функцията може да бъде счетена за разпределение или за мерки.
===
Делта-функцията може да бъде определена като [[Евклидово пространство]] с ''n'' измерения '''R'''<sup>''n''</sup> като
Ред 27:
{{NumBlk|:|<math>\delta(\mathbf{x}) = \delta(x_1)\delta(x_2)\cdots\delta(x_n).</math>|{{EquationRef|2}}}}
Делта-функцията може да бъде определена и в областта на разпределенията в едноизмерно пространство.<ref>{{harvnb|Hörmander|1983|loc=§3.1}}</ref> Обаче, въпреки широкото си приложение в
Така наречената [[мярка на Дирак]] има смисъл във всякакво числово множество.<ref name="Rudin 1966 loc=§1.20">{{harvnb|Rudin|1966|loc=§1.20}}</ref> Ако ''X'' е множество, {{nowrap|''x''<sub>0</sub> ∈ ''X''}} е определена точка, а Σ е всякаква [[сигма-алгебра]] подмножества от ''X'', тогава мярката е определена в множествата {{nowrap|''A'' ∈ Σ}} чрез
Ред 38:
което е делта-мярката или единицата маса, концентрирана в ''x''<sub>0</sub>.
Друго често срещано
{{NumBlk|:|<math>\delta_{x_0}[\varphi] = \varphi(x_0)</math>|{{EquationRef|3}}}}
Ред 46:
== Свойства ==
=== Мащабиране и симетрия ===
Делта-функцията
:<math>\int_{-\infty}^\infty \delta(\alpha x)\,dx
Ред 119:
=== Свойства в ''n'' измерения ===
Делта-
:<math>\delta(\alpha\mathbf{x}) = |\alpha|^{-n}\delta(\mathbf{x})</math>
Ред 148:
:<math>\widehat{\delta}(\xi)=\int_{-\infty}^\infty e^{-2\pi i x \xi}\delta(x)\,dx = 1.</math>
В по-строг смисъл, трансформацията на Фурие на разпределение с определя чрез налагане на самостоятелна долепеност на трансформацията на Фурие при сдвояване <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math> на темперирано разпределение с [[пространство на Шварц|функции на Шварц]]. Следователно, <math>\widehat{\delta}</math> се определя като единственото
:<math>\langle\widehat{\delta},\varphi\rangle = \langle\delta,\widehat{\varphi}\rangle</math>
| |||