Топологично пространство: Разлика между версии
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
LordBumbury (беседа | приноси) м интервал преди запетая |
м интервал; козметични промени |
||
Ред 1:
== Дефиниция ==▼
▲==Дефиниция==
Фамилия <math>T\,</math> от подмножества на множеството M се нарича ''(отворена) топология'' или фамилия на неговите ''отворени подмножества'', ако изпълнява следните свойства:
* самото множество <math>\mathcal{X}</math> и празното множество принадлежат на <math>T\,</math>,
* обединенията на елементи на <math>T\,</math> са елементи на <math>T\,</math>,
* сеченията на краен брой елементи на <math>T\,</math> са също елементи на <math>T\,</math>.
Наредената двойка <math>(\mathcal{X},T)</math> се нарича ''топологично пространство'', елементите на <math>\mathcal{X}</math> - ''елементи'' или ''точки'' на топологичното пространство, а елементите на <math>T\,</math> - ''отворени множества''.
Line 11 ⟶ 10:
Фамилията <math>F=\{\mathcal{B}:\mathcal{B}=\mathcal{X}\setminus\mathcal{A}\}_{\mathcal{A}\in T}</math> от подмножества на <math>\mathcal{X}</math> се нарича фамилия на ''затворените подмножества'' на <math>\mathcal{X}</math>.
Лесно може да се покаже, че сечението на затворени множества и обединението на краен брой затворени множества също е затворено множество.
''Затворена обвивка'' на подмножество <math>\mathcal{A}</math> на <math>\mathcal{X}</math> се нарича сечението на всички затворени подмножества, на които <math>\mathcal{A}</math> е подмножество. Затворената обвивка на <math>\mathcal{A}</math> се бележи с <math>\overline{\mathcal{A}}</math>.
Line 28 ⟶ 27:
Фамилия <math>F\,</math> от подмножества на множеството <math>\mathcal{X}</math> се нарича ''(затворена) топология'' или фамилия на неговите ''затворени подмножества'', ако изпълнява следните свойства:
* самото множество <math>\mathcal{X}</math> и празното множество принадлежат на <math>F\,</math>,
* сеченията на елементи на <math>F\,</math> са елементи на <math>F\,</math>,
* обединенията на краен брой елементи на <math>F\,</math> са също елементи на <math>F\,</math>.
Наредената двойка <math>(\mathcal{X},F)</math> се нарича ''топологично пространство'', а елементите на <math>F\,</math> - ''затворени множества''.
Фамилията <math>T\,</math> на ''отворените подмножества'' на <math>\mathcal{X}</math> се дефинира както следва:
Line 42 ⟶ 41:
Нека за всяко на множеството <math>\mathcal{A}\subset\mathcal{X}</math> е определено множеството <math>\overline{\mathcal{A}}\subset\mathcal{X}</math>, наречено ''затворена обвивка'' на <math>\mathcal{A}</math>
и изпълняващо следните условия:
* <math>\overline{\mathcal{A}\cup\mathcal{B}}=\overline{\mathcal{A}}\cup\overline{\mathcal{B}}</math>
* <math>\overline{\varnothing}=\varnothing</math>
* <math>\mathcal{A}\subset\overline{\mathcal{A}}</math>
* <math>\overline{(\overline{\mathcal{A}})}=\overline{\mathcal{A}}</math>
Множеството <math>\mathcal{X}</math> заедно с функцията затворена обвивка се нарича ''топологично пространство''.
Line 61 ⟶ 60:
Нека за всяко множеството <math>\mathcal{A}\subset\mathcal{X}</math> е определено множеството <math>Int(\mathcal{A})\subset\mathcal{X}</math>, наречено ''вътрешност'' на <math>\mathcal{A}</math>
и изпълняващо следните условия:
* <math>Int(\mathcal{A})\subset\mathcal{A}</math>
* <math>Int(Int(\mathcal{A}))=Int(\mathcal{A})</math>
* <math>Int(\mathcal{X})=\mathcal{X}</math>
* <math>Int(\mathcal{A}\cap\mathcal{B})=Int(\mathcal{A})\cap Int(\mathcal{B})</math>
Множеството <math>\mathcal{X}</math> заедно с функцията вътрешност се нарича ''топологично пространство''.
Line 84 ⟶ 83:
:<math>x\in\mathcal{A} \Rightarrow \left\{\mathcal{U}:\mathcal{U}\in\mathfrak{U}(x),\ \mathcal{U}\subseteq \mathcal{A}\right\}\neq\varnothing.</math>
=== Конструиране на топологични пространства ===
Съществуват различни начини за конструиране на топологично пространство. Някои от тях са: чрез бази, чрез индуциране, чрез образуване на декартово произведение, чрез [[инициална топология|инитиални]] или чрез [[фактор-топология|фактор-топологии]].
==== Бази ====
''База'' на топологичното пространство <math>(\mathcal{X},T)</math> е всяка фамилия от отворени множества <math>B\subset T</math>, за която
:<math>T=\left\{\bigcup_{\mathcal{A}\in B'}\mathcal{A}\right\}_{B'\subseteq B}</math>,
a ''подбаза'' - фамилия <math>P\subset T</math>, за която
:<math>T=\left\{\bigcap_{\mathcal{A}\in P'}\mathcal{A}\right\}_{P'\subseteq P:\ Card(P')<\aleph_0}</math>
==== Породени и индуцирани топологични пространства ====
Всяко множество <math>B \subseteq \{\mathcal{A}\}_{\mathcal{A}\subseteq \mathcal{X}}</math>, което съдържа сеченията на краен брой свои елементи, е база на топологично пространство наречено ''породено'' от базата <math>B\,</math>.
Line 102 ⟶ 101:
се нарича пространство с ''индуцирана'' от <math>T\,</math> върху <math>\mathcal{X}'\,</math> топология или ''подпространство'' на <math>(\mathcal{X},T)</math>.
==== Декартово произведение на топологични пространства ====
Декартовото произведение на две топологични пространства <math>(\mathcal{X},T)</math> и <math>(\mathcal{Y},S)</math> се
:<math>\left\{\mathcal{A}\times\mathcal{B}:\mathcal{A}\in T, \mathcal{B} \in S\right\}.</math>
Възможно е да се конструира и декартовото произведние на произволна фамилия от топологични пространства. Те се наричат обобщени декартови произведения или [[топология на Тихонов|топологии на Тихонов]].
=== Сравняване на топологични пространства ===
Две топологични пространства могат да бъдат сравнени по следния начин: Пространството <math>(\mathcal{X},T)</math> се нарича по-грубо (в някои източници: по-бедно), а <math>(\mathcal{X},S)</math> - по-фино (по-богато), ако <math>T\subseteq S,</math> тоест ако всяко отворено множество в първото пространство е отворено и във второто. Тази терминология е дуална с едноименната терминология при [[филтър (математика)|филтрите]]: в по-финото/по-грубото пространство филтърът от околности на точката <math>x\in\mathcal{X}</math>
Затворените множества в по-грубото пространство са затворени и в по-финото, а затворената обвивка на едно множество в по-грубото пространство съдържа затворената обвивка на това множество в по-финото пространство.
Line 119 ⟶ 118:
Сравнени по тяхната грубост топологичните пространства върху <math>\mathcal{X}</math> образуват [[пълна решетка]]. Долните граници в тази решетка могат да се определят като се пресечат пространсвата в подмножествата на решетката. Горните граници пък са най-грубите топологични пространства съдържащи тяхното обединение. Пълната решетка от топологични пространства върху <math>\mathcal{X}</math> притежава най-малък елемент - ''хаотичната топология'': <math>(\mathcal{X},\{\varnothing,\mathcal{X}\})</math> и най-голям елемент - ''дискретната топология'': <math>(\mathcal{X},\{\mathcal{A}\}_{\mathcal{A}\subset\mathcal{X}}).</math>
== Литература ==
* Schubert H., ''Topologie - eine Einführung'', B. G. Teubner Stuttgart, 1964
* Александров П., ''Введение в теорию множеств и общую тополгию'', "Наука", Москва, 1977
* Куратовски К., ''Увод в теория на множествата и топологията'', изд. "Наука и изкуство", София, 1979
* Александрян Р., Мирзаханян Э., ''Общая топология''
* Heuser H., ''Lehrbuch der Analysis, Teil 2'', B. G. Teubner Stuttgart, 1981
[[Категория:Математика]]
| |||