Дзета-функция на Риман: Разлика между версии
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
м Bot: Automated text replacement (-( +() |
м интервал |
||
Ред 10:
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}
</math>
Този ред е [[ред на Дирихле]] и е сходящ за всички [[реално число|реални числа]] ''s''> 1. Функцията може да се додефинира за всички комплексни ''s'' ≠ 1 с помощта на [[аналитично продължение]]. Риман показва това в статията си ''„Относно броя на простите числа по-малки от дадено число“'' през [[1859]] година. Той прави това на две стъпки. Първо Риман показва че редът е сходящ за всичи комплексни ''s'' с реална част Re(''s'') по-голяма от 1 и дефинира [[аналитична функция]] на проенливата ''s'' в областта {''s'' ∈ '''C'''
''s'', която е [[холоморфна функция|холоморфна]] в областта {''s''∈'''C''':''s''≠ 1} и има [[прост полюс]] в ''s''=1. Аналитичното продължение дефинира еднозначно функцията ζ(''s'') извън първоначалната област на сходимост. В допълнение на това, Риман извежда и [[функционално уравнение]] за дзета-функцията, което дава връзка между стойността ѝ в точките ''s'' и 1 − ''s''. Известната [[хипотеза на Риман]], която е формулирана във същата статия се отнася за нулите на така продължената функция. За да се подчертае, че ''s'' е ''комплексно'' число, то често се записва във вида ''s''=σ + ''it'', където σ = Re(''s'') е [[реална част|реалната]], а ''t'' = Im(''s'') – [[имагинерна част|имагинерната]] част на ''s''.
| |||