Отваря главното меню

Промени

м
интервал; козметични промени
[[FileФайл:Image-Golden ratio line.png|thumbnailмини|200px|Златно сечение (a+b)/a=a/b]]
 
'''Златно сечение''' (известно още като '''златна пропорция''', '''златен коефициент''' или '''божествена пропорция''') е [[ирационално число]] в [[математика]]та, което изразява [[отношение]] на части, за които по-голямата част се отнася към по-малката така, както цялото към по-голямата. То се отбелязва с [[гръцка азбука|гръцката буква]] [[Фи|φφ]] и има стойност приблизително равна на 1,618.
 
Златното сечение е не само математическо понятие, но е символ за красота, хармония и съвършенство в [[изкуство]]то, [[наука]]та и [[природа]]та. Терминът „златно сечение“ е въведен от [[Леонардо да Винчи]] като пропорция за „идеалното човешко тяло“. То е било познато на [[Древен Египет|египтяните]] и древните гърци още в [[античността]]. Представата за хармония и отношение е в основата на философските идеи на [[Питагор]]. [[Египетски пирамиди|Египетските пирамиди]] и [[Партенон]]ът са пример за използването на пропорцията φφ в архитектурата.
 
== История ==
В достигналата до нас антична литература златното сечение се среща за първи път в „[[Елементи]]“ на [[Евклид]]. След Евклид с изучаване на това отношение са се занимавали и други древногръцки философи. В [[Средновековие|средновековна]] [[Европа]] златното сечение достига чрез преводите на „[[Елементи]]“ на Евклид, а преводачът Дж. Кампано от Навара (III в.) прави първите коментари към преводите. По това време тайните на златното отношение се пазели ревностно и били известни единствено на посветените.
 
[[ImageФайл:Phi_uc_lc.svg|thumbмини|200px|Златното сечение се отбелязва с гръцката буква от φφ – първата буква от името на древногръцкия скулптор [[Фидий]].]]
В епохата на [[Ренесанс]]а интересът на учените и художниците към това число се засилил във връзка с неговото приложение в [[геометрия]]та, в изкуството и най-вече в [[архитектура]]та. През [[1509]] г. във [[Венеция]] била издадена книгата на монаха [[Лука Пачоли]] „Божествена пропорция“ с илюстрации, които се предполага, че са дело на [[Леонардо да Винчи]]. Книгата била възторжен химн на златното сечение, в която не се пропуска да се спомене дори „божествената същност“ на числото като изражение на божието триединство.
 
Астрономът [[Йохан Кеплер]] през XVI век нарича златното отношение едно от съкровищата на геометрията. Той първи отбелязва приложението на златното сечение в ботаниката.
 
През [[1855]] г. немският изследовател [[Адолф Цайзинг]] публикува своя труд „Естетически изследвания“, в който обявява златното сечение за универсално във всички явления в природата и изкуството. Цайзинг извършва около две хиляди измервания на човешки тела и достига до извода, че златното сечение изразява средностатистически закон. Той показва, че деленето на тялото в точката на пъпа е най-добрия пример на златно отношение. Пропорциите на мъжкото тяло се колебаят около отношението 13 : 8 = 1,625 и са много по-близки до златната пропорция, отколкото женското тяло, чието средно отношение е 8 : 5 = 1,6. Пропорцията на златното сечение се проявява и при други части на тялото.
 
== Математически свойства ==
:<math>\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} </math>
 
При умножаване двете страни на равенството с '''a/b''' и заместване на '''a/b''' с '''&phi;φ''' се получава следното уравнение:
 
:<math>\varphi^2 = \varphi + 1</math>
 
=== Алтернативни форми за представяне ===
Тъй като <math>\varphi = 1 + \frac{1}{\varphi}</math>, то &phi;φ може да се представи като
 
:<math>\varphi = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + ...}}}}</math>
 
Друг начин на представяне следва от <math>\varphi^2 = 1 + \varphi</math>, при заместване на &phi;φ:
 
:<math>\varphi = \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}}</math>
:<math>\varphi=2\cos(\pi/5)=2\cos 36^\circ.\,</math>
 
което се получава от факта, че отношението на дължината на диагонала на правилен петоъгълник към негова страна е равно на &phi;φ.
 
=== Алгебрични свойства ===
:<math>\varphi^2 = \varphi + 1</math>
 
следва, че &phi;φ е единственото положително число, което се превръща в реципрочното си при изваждане на единица:
 
:<math>\frac{1}{\varphi} = \varphi - 1 \approx 0,6180339887...</math>
което е аналог на рекурентната връзка задаваща числата от [[число на Фибоначи|редицата на Фибоначи]], <math>F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}</math>
 
&phi;φ също е и границата, към която клони отношението на два последователни члена от на редицата на Фибоначи:
 
:<math>\varphi = \lim_{n\to\infty} \frac{F_{n+1}}{F_n}</math>
 
==== Геометрично построение ====
[[FileФайл:Golden section construction.png|thumbмини|200px|Построяване на златно сечение]]
 
Отсечката ''AB'' може да се раздели от точката ''S'', така че <math>\frac{|AB|}{|AS|}=\frac{|AS|}{|SB|}=\varphi</math> по следния начин:
 
==== Златни геометрични фигури ====
[[FileФайл:Golden rectangles.png|thumbnailмини|200px|Златен правоъгълник]]
[[FileФайл:Golden spiral in rectangles.png|thumbnailмини|200px|Златна спирала в златен правоъгълник]]
 
* '''Златен правоъгълник''' е [[правоъгълник]], при който отношението на страните е равно на златното сечение.
 
:При премахването на квадрат със страни, равни на по-малката страна на '''златен правоъгълник''', остатъкът е отново правоъгълник със съотношение на страните, равно на φ, т.е. при премахването на квадрат от златен правоъгълник се получава отново златен правоъгълник. Това се доказва лесно, като се използва алгебричните свойства на φ и лицата на правоъгълниците.
:При повтаряне на тази последователност се получава поредица от все по-малки златни правоъгълници, като диагоналите на всички малки правоъгълници лежат на диагоналите на първоначалния правоъгълник или на първия отрязан правоъгълник.
 
* '''Златен триъгълник''' е равнобедрен [[триъгълник]], при който отношението на дължините на бедрото и основата е равно на златното сечение.
 
:Съществуват два вида триъгълници, при които отношението на дължините на бедрото и основата е равно на златното сечение: остроъгълен (при който основата е по-малка от бедрото и ъгълът при върха е 36°, а ъглите при основата са 72°) и тъпоъгълен (при който основата е по-голяма от бедрото и ъгълът при върха е 108°, а ъглите при основата са 36°). Вторият вид триъгълници често се нарича ''сребърен триъгълник''.
:[[Пентаграм]]ът е фигура, образувана от 5 златни триъгълника, вписани в правилен петоъгълник Всяка от петте линии, съставящи тази фигура, дели другата в златно отношение.
 
* '''Златна спирала''' е [[спирала]], която се образува при вписване на четвърт от [[окръжност]] във всеки квадрат, получен при безкрайно разделяне на златен правоъгълник в поредица от все по-малки златни правоъгълници. Тази спирала се доближава до [[логаритмична спирала]] с център пресечената точка на диагоналите на първите два правоъгълника.
 
<!--
 
== Златно сечение в архитектурата ==
Въпреки, че не съществуват писмени свидетелства, останали от [[Древен Египет|­­древните египтяни]], смята се, че те са познавали златното сечение, защото отношения, близки до неговата стойност, се срещат в пропорциите на пирамидите. Например отношението на височината на страна на пирамидата в Гиза към нейната дължина в основата е равно на &phi;φ/2.
 
[[Древна Гърция|Древните гърци]] също са познавали това число благодарение на техните познания по геометрия, но не съществуват доказателства, че те са отдавали значение на златното сечение за разлика от числото [[Пи (математика)|Пи]] например. Най-ярък пример за използването на отношението &phi;φ в гръцката архитектура е храмът [[Партенон]] в атинския [[Акропол]], където златното сечение може да се намери в повечето архитектурни детайли. Цялостното присъствие на това отношение в Партенона, построен от [[Фидий]], налага и използването на първата буква от неговото име &phi;φ за отбелязване на златното сечение.
 
[[Средновековие|Средновековните]] архитекти подобно на древните гърци са съчетавали изкуство и геометрия в своите творения и по този начин са използвали златното сечение в проектирането и строителството на църкви и катедрали. Като пример за златно отношение в Средновековието може да се даде катедралата [[Света Богородица (Париж)|Парижката света Богородица]]. На фасадата на тази катедрала се вижда, че всеки архитектурен елемент се отнася към някой от останалите в златно сечение, както и че цялата фасада се вписва в златен правоъгълник.
== Външни препратки ==
* [http://www.youtube.com/watch?v=kkGeOWYOFoA&feature=youtu.be Златното сечение в природата] – филмче в [[YouTube]]
<references/>
* [https://www.filizi33.com/za-kubizma "Златното сечение"] артистична група. Кубизъм
 
[[Категория:Математически константи]]
[[Категория:Безразмерни величини]]
 
<references/>
* [https://www.filizi33.com/za-kubizma "Златното сечение"] артистична група. Кубизъм