Конично сечение: Разлика между версии

* '''[[хипербола]]''' —– отворена крива, състояща се от два клона, има два фокуса. Представлява сечение на двата ръкава на конуса с равнина, която не е успоредна на негова образувателна.

* [[права линия]] —– когато равнината допира коничната равнина и сечението на двете представлява образувателна на конуса.

* двойка пресечни прави —– когато равнината сече конуса под по-малък [[ъгъл]], от този между образувателната и оста на ротация.

* [[точка (математика)|точка]] —– когато равнината сече конуса под по-голям ъгъл.

Друг начин за дефиниране на коничните сечения е посредством точка и права.<ref>„Линейна алгебра и аналитична геометрия“, М. Гаврилов, Г. Станилов, Софтех, София, 1998</ref> Нека ''F'' е фиксирана точка в равнината, а ''d'' -– права, неминаваща през ''F''. Нека ''М'' е произволна точка и за нея разгледаме разстоянията MF и MM' до правата d (където <math> \textstyle{M' \in d, MM' \perp d}</math>) и по-специално тяхното отношение: <math> \frac{ \mid MF \mid}{ \mid MM' \mid} = e </math>, наречено ''[[ексцентрицитет]]''.

Множеството от точки М в равнината, за които така определеният ексцентрицитет е [[константа|постоянно число]], се нарича ''конично сечение'', точка F —– ''фокус'', а правата ''d'' —– ''директриса''.

Нека е въведена [[декартова координатна система]] <math>O \xi \eta </math>, такава че <math>O \eta</math> съвпада с правата ''d'', оста <math>O \xi </math> минава през ''F''. В така подбраната координатна система правата d има уравнение <math>\xi = 0</math>, а F има координати (p, 0), където p е разстоянието от фокуса F до директрисата d. Така от дефиниционното равенство <math> \frac{ \mid MF \mid}{ \mid MM' \mid} = e </math> следва, че <math>\displaystyle{(\xi -– p)^2 + \eta^2 = e^2\xi^2}</math>, което след преобразувание приема вида:

: <math>\displaystyle{(1-e^2)\xi^2 + \eta^2 -– 2p\xi + p^2 = 0}</math>, което е уравнение от втора степен на двете неизвестни <math>\xi, \eta</math>.

# При <math> e = 1 </math>, уравнението приема вида <math>\displaystyle{\eta^2 -– 2p\xi + p^2 = 0}</math>, което след полагането <math> \displaystyle{\xi = x + \frac{p}{2}, \eta = y}</math> а оттам след обратно преобразувание се получава и каноничното уравнение на параболата: <math> \displaystyle{y^2 = 2px}</math> <br /> Оттук и дефиницията на параболата като геометричното място на точки, които са равноотдалечени от точка и права.<ref name="kamenarov">''Справочник по висша математика'', Георги Каменаров, Издателство „Техника“, 1994</ref>

# Нека <math> e \ne 1</math>. С полагането на <math> \displaystyle{\xi = x + \alpha, \eta = y}</math> се прави [[транслация]] на координатната система, където <math>\alpha </math> е неизвестната величина, която подлежи на определяне. След заместването и елементарни преобразувания, следва че <math>\displaystyle{2 \alpha(1 -– e^2) -– 2p = 0}</math>, оттук <math>\alpha = \frac{p}{1 -– e^2}</math> и <math>(1-e^2)x^2 + y^2 = \frac{p^2e^2}{1 -– e^2}</math>. Оттук насетне има два случая, в зависимост от ''е''.

## При <math>e < 1, 1 -– e^2 > 0 </math> и като разделим на <math>\frac{p^2e^2}{1 -– e^2}</math>, при полагане на <math>a = \frac{pe}{1 -– e^2}, b = \frac{pe}{\sqrt{1 -– e^2}}</math> получаваме, че <math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1</math>, което се нарича ''канонично уравнение на елипсата''. <br /> Елипсата се определя и като геометричното място от точки, за които сумата от разстоянията до две предварително фиксирани точки е постоянно число (бифокална дефиниция).<ref name="kamenarov" />

## При <math>e > 1, \frac{p^2e^2}{e^2 -– 1} > 0 </math> и като разделим на <math>\frac{p^2e^2}{e^2 -– 1}</math>, при полагане на <math>a = \frac{pe}{e^2 -– 1}, b = \frac{pe}{\sqrt{e^2 -– 1}}</math> получаваме, че <math>\frac{x^2}{a^2} -– \frac{y^2}{b^2} = 1</math>, което се нарича ''канонично уравнение на хиперболата''. <br /> Хиперболата се определя и като геометричното място от точки, за които абсолютната стойност на разликата от разстоянията до две предварително фиксирани точки е постоянно число (бифокална дефиниция). <ref name="kamenarov" />

Първите инструменти за изчертаване на елипси вероятно са изобретени от [[Прокъл (философ)|Прокъл]] и [[Исидор Милетски]] през 5 -– 4 век пр.н.е.<ref name="matterm" /> Представлявали са проста конструкция с конец, която работи на принципа на бифокалната дефиниция на елипсата.

Приложение коничните сечения имат в [[астрономия]]та: те участват в математическия апарат, с който [[Кеплер]] и [[Исак Нютон]] описват движението на планетите. Кеплер формулира [[Закони на Кеплер|закона]], че [[планета|планетите]] се движат по елипсовидна [[орбита]], в единия фокус на която се намира [[Слънце]]то. По-общо, всички [[небесно тяло|небесни тела]], които се намират под въздействието на слънчевата [[гравитация]] и върху които не оказват влияние други [[сила (физика)|сили]], се движат по орбита с форма на някое конично сечение, за което Слънцето е фокус. Непериодичните [[комета|комети]] се движат по парабола и хипербола, а периодичните —– по силно издължени елипси.<ref>{{Цитат уеб|уеб_адрес=http://planetmath.org/encyclopedia/DandelinSphere.html |заглавие=Информация за коничните сечения |достъп_дата=17/05/2007 |автор= |съавтори= |дата= |формат= |издател=PlanetMath.org |език=en}}</ref>