Уикипедия

Теория на числата: Разлика между версии

Интерактивен преглед на историята
← По-стара редакцияПо-нова редакция →
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
ВизуаленУикитекст
м Премахнати редакции на Marcelius Martirosianas (б.), към версия на Сале
Редакция без резюме
Ред 1:
Класическата '''теория на числата''' е клон на [[математика]]та който изследва свойствата на [[цяло число|целите числа]]. От сравнително по-скоро теорията на числата се занимава с по-широк клас проблеми, които естествено възникват при изучаването на целите числа. Тя се разделя на няколко подобласти, в зависимост от методите които се използват и типовете въпроси които се разглеждат.
 
Терминът "„[[аритметика]]"“ се използва понякога като синоним на "теория„теория на числата"числата“. Това е сравнително старо значение и понастоящем не е много популярно. Теорията на числата се е наричала ''висша аритметика'', но този термин също е отпаднал от употреба. Въпреки това все още участва в някои наименования ([[аритметична функция]], [[елиптична крива|аритметика на елиптичните криви]], [[основна теорема на аритметиката]]). Това значение на термина аритметика не трябва да се бърка със елементарната аритметика. <!-- or with the branch of [[logic]] which studies [[Peano arithmetic]] as a [[formal system]].-->
 
== Области ==
=== Елементарна теория на числата ===
В '''елементарната теория на числата''', целите числа се изучават без да се използват методи от други области на математиката. Тя се занимава с въпроси като [[делимост]], използване на [[Алгоритъм на Евклид|алгоритъма на Евклид]] за намиране на [[най-голям общ делител]], разлагане на целите числа като произведение на [[просто число|прости]], изследване на [[съвършено число|съвършените числа]], [[сравнение|сравнения]] и други. Някои от важните открития в тази област включват: [[Малка теорема на Ферма|малката теорема на Ферма]], [[Теорема на Ойлер|теоремата на Ойлер]], [[Китайска теорема за остатъците|китайската теорема за остатъците]] и закона за [[квадратична реципрочност|квадратичната реципрочност]]. Изучаване на свойствата на [[Мултипликативна функция|мултипликативните функции]] като например [[Функция на Мьобиус|функцията на Мьобиус]] и [[Функция на Ойлер|функцията на Ойлер]], [[редица|целочислени редици]], функцията [[факториел]] и [[Число на Фибоначи|числата на Фибоначи]] също попадат в тази област.▼
 
Много теоретико-числови проблеми могат да се изкажат с термини от елементарната теория на числата но въпреки това изискват много по-дълбоки изследвания и методи от други области на математиката. Например: ▼
▲В '''елементарната теория на числата''', целите числа се изучават без да се използват методи от други области на математиката. Тя се занимава с въпроси като [[делимост]], използване на [[Алгоритъм на Евклид|алгоритъма на Евклид]] за намиране на [[най-голям общ делител]], разлагане на целите числа като произведение на [[просто число|прости]], изследване на [[съвършено число|съвършените числа]], [[сравнение|сравнения]] и други. Някои от важните открития в тази област включват: [[Малка теорема на Ферма|малката теорема на Ферма]], [[Теорема на Ойлер|теоремата на Ойлер]], [[Китайска теорема за остатъците|китайската теорема за остатъците]] и закона за [[квадратична реципрочност|квадратичната реципрочност]]. Изучаване на свойствата на [[Мултипликативна функция|мултипликативните функции]] като например [[Функция на Мьобиус|функцията на Мьобиус]] и [[Функция на Ойлер|функцията на Ойлер]], [[редица|целочислени редици]], функцията [[факториел]] и [[Число на Фибоначи|числата на Фибоначи]] също попадат в тази област.
 
▲Много теоретико-числови проблеми могат да се изкажат с термини от елементарната теория на числата но въпреки това изискват много по-дълбоки изследвания и методи от други области на математиката. Например:
* [[Хипотеза на Голдбах|хипотезата на Голдбах]], която твърди, че всяко четно число по-голямо от 2 може да се изрази като сума на две прости.
<!--* [[Catalan's conjecture]] (now [[Mih\u0103ilescu's theorem]]) regarding successive integer powers. -->
Line 18 ⟶ 17:
 
=== Аналитична теория на числата ===
 
'''[[Аналитична теория на числата|Аналитичната теория на числата]]''' използва средствата на [[Диференциално и интегрално смятане|диференциалното и интегрално смятане]] и [[Комплексен анализ|комплексния анализ]], за да отговаря на въпроси за целите числа. [[Закон за разпределение на простите числа|Законът за разпределение на простите числа]] и свързаната с него [[хипотеза на Риман]] са области от аналитичната теория на числата. Други проблеми включват: [[Проблем на Уоринг|проблемът на Уоринг]] (касаещ представянето на дадено цяло число като сума на квадрати, кубове и т.н.), [[хипотеза за простите близнаци|хипотезата за простите числа близнаци]] и [[хипотеза на Голдбах|хипотезата на Голдбах]]. [[математическо доказателство|Доказателствата]], че [[Пи|&pi;]] и ''[[e (математическа константа)|e]]'' са [[трансцендентно число|трансцендентни]], също принадлежат на аналитичната теория на числата. Въпреки че твърденията за трансцендентните числа на пръв поглед нямат много общо с изучаването на целите числа, те всъщност изучават възможните стойности на [[полином]]и с цели коефициенти пресметнати например в числото <i>e</i>. Те също са свързани с теорията на [[диофантово приближение|диофантовите приближения]], която изучава колко добре дадено реално число може да се приближи с [[рационално число]].
 
=== Алгебрична теория на числата ===
В '''[[алгебрична теория на числата|алгебричната теория на числата]]''', понятието число е разширено до [[алгебрично число|алгебричните числа]] които са корени на полиноми с рационални коефициенти. Те съдържат елементи аналогични на целите числа, така наречените [[цяло алгебрично число|цели алгебрични числа]]. При тях познатите свойства на целите (например еднозначно разлагане на прости множители) не винаги се запазват. ▼
 
▲В '''[[алгебрична теория на числата|алгебричната теория на числата]]''', понятието число е разширено до [[алгебрично число|алгебричните числа]] които са корени на полиноми с рационални коефициенти. Те съдържат елементи аналогични на целите числа, така наречените [[цяло алгебрично число|цели алгебрични числа]]. При тях познатите свойства на целите (например еднозначно разлагане на прости множители) не винаги се запазват.
 
Много теоретико-числови въпроси могат най-добре да се атакуват като се разгледат ''по модул p'' за всяко просто ''p'' (вижте [[крайно поле]]). Това се нарича ''локализация'' и води до конструкцията на [[p-адично число|p-адичните числа]]. Те се изучават в област от математиката наречена [[локален анализ]], която произлиза от алгебричната теория на числата.
Line 37 ⟶ 34:
 
=== Ранна съвременна история ===
 
Теорията на числата се възражда през шестнадесети и седемнадесети век в [[Европа]], с [[Франсоа Виет]], [[Bachet de Meziriac]], и особено [[Пиер дьо Ферма|Ферма]], чийто [[метод на безкрайното спускане]] е първата обща идея за решаване на диофантови уравнения. Основни приноси през осемнадесети век правят [[Леонард Ойлер|Ойлер]] и [[Жозеф Луи Лагранж|Лагранж]].
 
=== Начало на систематична теория ===
Около началото на деветнадесети век книги на [[Адриен Мари Льожандър|Льожандър]] (1798), и [[Карл Фридрих Гаус|Гаус]] излагат първите систематични теории. Може да се каже, че книгата на Гаус ''Disquisitiones Arithmeticae[http://en.wikipedia.org/wiki/Disquisitiones_Arithmeticae]'' (1801) поставя началото на модерната теория на числата. ▼
 
▲Около началото на деветнадесети век книги на [[Адриен Мари Льожандър|Льожандър]] (1798), и [[Карл Фридрих Гаус|Гаус]] излагат първите систематични теории. Може да се каже, че книгата на Гаус ''Disquisitiones Arithmeticae[http://en.wikipedia.org/wiki/Disquisitiones_Arithmeticae]'' (1801) поставя началото на модерната теория на числата.
 
Гаус пръв формулира теорията на [[сравнение|сравненията]]. Той въвежда означението
Line 54 ⟶ 49:
На Гаус дължим и представянето на числата като [[квадратична форма|квадратични форми]].
 
=== Теория на простите числа ===
Плодотворна тема в теорията на числата е изучаването на разпределението на простите числа. Още като тийнейджър, Гаус формулира хипотеза относно броят на простите числа, които не надвишават дадено число (виж [[Закон за разпределение на простите числа]]). ▼
 
▲Плодотворна тема в теорията на числата е изучаването на разпределението на простите числа. Още като тийнейджър, Гаус формулира хипотеза относно броят на простите числа, които не надвишават дадено число (виж [[Закон за разпределение на простите числа]]).
 
Чебишев (1850) дава полезни ограничения отгоре и отдолу на същия брой. [[Бернхард Риман|Риман]] пръв използва [[комплексен анализ]] в изследването на [[Дзета функция на Риман|дзета функцията на Риман]]. Това води до намирането на връзка между нулите на дзета функцията и разпределението на простите числа, което в крайна сметка дава доказателство на закона за разпределение на простите числа, намерено едновременно от <!--[[Jacques Hadamard|Hadamard]]--> Адаманд и Вале-Пусен <!--[[Charles Jean de la Vallée-Poussin|de la Vallée Poussin]]--> през [[1896]]. По-късно, през [[1969]] [[Пал Ердьош]] и [[Атле Селберг]] дават елементарно доказателство на теоремата. Тук ''елементарно'' означава че не се използват техники от комплексния анализ, доказателството обаче, е доста трудно. [[Хипотеза на Риман|Хипотезата на Риман]], би ни дала много по-точна информация по въпроса, но все още не е известно дали тя е вярна.
 
== Външни препратки ==
*[http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=2779 Теория на числата (ТЧ)]
 
Взето от „https://bg.wikipedia.org/wiki/Теория_на_числата“.