Уикипедия

Константа на Ойлер – Маскерони: Разлика между версии

Интерактивен преглед на историята
← По-стара редакцияПо-нова редакция →
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
ВизуаленУикитекст
м замяна с n-тире
Редакция без резюме
Етикет: Връщане
Ред 50:
 
По-нататъшните резултати за границите са:
:<math>\begin{align} \lim_{z\to 0}\frac1{z}\left(\frac1{\Gamma(1+z)} –- \frac1{\Gamma(1-z)}\right) &= 2\gamma \\
\lim_{z\to 0}\frac1{z}\left(\frac1{\Psi(1-z)} –- \frac1{\Psi(1+z)}\right) &= \frac{\pi^2}{3\gamma^2}. \end{align}</math>
 
Граница, свързана с [[бета-функция]]та (изразена спрямо гама-функции) е
:<math>\begin{align} \gamma &= \lim_{n\to\infty}\left(\frac{ \Gamma\left(\frac1{n}\right) \Gamma(n+1)\, n^{1+\frac1{n}}}{\Gamma\left(2+n+\frac1{n}\right)} –- \frac{n^2}{n+1}\right) \\
&= \lim\limits_{m\to\infty}\sum_{k=1}^m{m \choose k}\frac{(-1)^k}{k}\ln\big(\Gamma(k+1)\big). \end{align}</math>
 
Ред 64:
 
Други редове, свързани с дзета-функцията включват:
:<math>\begin{align} \gamma &= \tfrac3{2}- \ln 2 –- \sum_{m=2}^\infty (-1)^m\,\frac{m-1}{m}\big(\zeta(m)-1\big) \\
&= \lim_{n\to\infty}\left(\frac{2n-1}{2n} –- \ln n + \sum_{k=2}^n \left(\frac1{k} –- \frac{\zeta(1-k)}{n^k}\right)\right) \\
&= \lim_{n\to\infty}\left(\frac{2^n}{e^{2^n}} \sum_{m=0}^\infty \frac{2^{mn}}{(m+1)!} \sum_{t=0}^m \frac1{t+1} –- n \ln 2+ O \left (\frac1{2^{n}\, e^{2^n}}\right)\right).\end{align}</math>
 
Условието на грешката в последното уравнение е бързо намаляваща функция на {{math|''n''}}. В резултат на това, формулата е подходяща за ефективно изчисление на на константата с висока точност.
Ред 89:
=== Интеграли ===
{{mvar|γ}} е равна на стойността на число от определени [[интеграл]]и:
:<math>\begin{align}\gamma &= –- \int_0^\infty e^{-x} \ln x \,dx \\
&= -\int_0^1 \ln\left(\ln\frac 1 x \right) dx \\
&= \int_0^\infty \left(\frac1{e^x-1}-\frac1{x\cdot e^x} \right)dx \\
Ред 113:
 
:<math>\begin{align} \gamma &= \sum_{n=1}^\infty \frac{N_1(n) + N_0(n)}{2n(2n+1)} \\
\ln\frac4{\pi} &= \sum_{n=1}^\infty \frac{N_1(n) –- N_0(n)}{2n(2n+1)},\end{align}</math>
където {{math|''N''<sub>1</sub>(''n'')}} и {{math|''N''<sub>0</sub>(''n'')}} са броя единици и нули, съответно, в [[Двоична бройна система|двоично]] разширение на {{math|''n''}}.
 
Ред 127:
:<math>\begin{align}
\gamma & = \sum_{k=2}^\infty (-1)^k\frac{\left\lfloor\log_2 k\right\rfloor} k \\[5pt]
& = \tfrac12-\tfrac13 + 2\left(\tfrac14 –- \tfrac15 + \tfrac16 –- \tfrac17\right) + 3\left(\tfrac18 –- \tfrac19 + \tfrac1{10} –- \tfrac1{11} + \cdots –- \tfrac1{15}\right) + \cdots,
\end{align}</math>
 
Ред 134:
През 1926 г. той намира втори ред:
:<math>\begin{align}
\gamma + \zeta(2) & = \sum_{k=2}^\infty \left(\frac1{\left\lfloor\sqrt{k}\right\rfloor^2} –- \frac1{k}\right) \\[5pt]
& = \sum_{k=2}^\infty \frac{k –- \left\lfloor\sqrt{k}\right\rfloor^2}{k \left\lfloor \sqrt{k} \right\rfloor^2} \\[5pt]
&= \frac12 + \frac23 + \frac1{2^2}\sum_{k=1}^{2\cdot 2} \frac{k}{k+2^2} + \frac1{3^2}\sum_{k=1}^{3\cdot 2} \frac{k}{k+3^2} + \cdots
\end{align}</math>
Ред 148:
Друго важно разширение с коефициенти на Грегъри, включващо константата на Ойлер е:
:<math>\begin{align}
H_n &= \gamma + \ln n + \frac1{2n} –- \sum_{k=2}^{\infty}\frac{(k-1)!|G_k|}{n(n+1) \cdots (n+k-1)}, && n=1,2,\ldots,\\
&= \gamma + \ln n + \frac1{2n} –- \frac1{12n(n+1)} –- \frac1{12n(n+1)(n+2)} –- \frac{19}{120n(n+1)(n+2)(n+3)} –- \cdots &&
\end{align}</math>
и конвергира за всички {{math|''n''}}.
Взето от „https://bg.wikipedia.org/wiki/Константа_на_Ойлер_–_Маскерони“.