Пи: Разлика между версии

[[FileФайл:Pi-unrolled-720.gif|thumbмини|360px|Анимация за връзката между дължината на окръжността и <b>'''пи</b>''']]

'''&pi;π''' (произнася се '''пи''') е [[Математически константи|математическа константа]], която представлява [[отношение]]то между дължината на дадена [[окръжност]] и нейния [[диаметър]] и обикновено се използва в [[математика]]та, [[физика]]та и [[техника]]та. Името на [[гръцка азбука|гръцката буква π]] се произнася '''„пи“'''. &pi;π е познато още като '''[[Лудолф фон Цойлен|Лудолфово]] число''' и като '''[[Архимед]]ова константа''' (да не се бърка с [[Архимедово число|Архимедовото число]]).

[[FileФайл:Pi Karlsplatz Pi.JPG|thumbмини|580px|<b>'''Пи</b>''' – Карлсплац, [[Виена]]]]

В [[Евклидова геометрия|евклидовата геометрия]] &pi;π може да бъде дефинирано както като [[отношение]] между дължината и [[диаметър]]а на една окръжност, така и като отношение на [[Площ|лицето]] на един кръг към лицето на квадрат със страна неговия [[радиус]]. Във висшата математика &pi;π се дефинира [[математически анализ|аналитично]] чрез използване на [[тригонометрична функция|тригонометрични функции]], например като най-малкото положително ''x'', за което sin''x'' = 0, или като удвоеното най-малко положително ''x'', за което cos''x'' = 0 (удвоеното най-малко положително ''x'', за което sin''x'' = 1). Всички тези дефиниции са еквивалентни.

Числото &pi;π е приблизително равно на 22/7 или на 3,14 с точност до третата значеща цифра.

Числовата стойност на &pi;π, закръглена до 100-ния знак след десетичната запетая, е

Въпреки че тази точност е повече от достатъчна за използване в науката и техниката, през последните няколко века в изчисляването на повече цифри и изследването на свойствата на числото са вложени много усилия. Независимо от многото аналитична работа, прибавена към изчисленията със [[суперкомпютър|суперкомпютри]], определили повече от 1 трилион цифри на &pi;π, не е намерена закономерност в поредицата от цифри. Цифрите на &pi;π могат да се намерят на много места в Интернет и обикновен [[персонален компютър]] може да изчисли трилиони цифри с [[софтуер за изчисляване на числото Пи|наличния софтуер]].

Приблизителни стойности на &pi;π, изразени като обикновена дроб са: 22/7 (според [[Архимед]]) и 355/113 (по оценка на древните китайски математици).

Съществуват различни [[Мнемоника|мнемотехнически]] начини за лесно запомняне на &pi;π. Закръглено с точност до десетия знак, &pi;π може да се запомни чрез следното изречение, в което всяка дума има съответния брой букви:

Трябва да се отбележи, че за практически, ежедневни нужди прецизност на &pi;π от 2 до 5 знака е достатъчна за почти всякакви пресмятания.

[[КартинкаФайл:Pi-CM.svg|мини|]]

&pi;π е [[ирационално число]], т.е. то не може да бъде представено като отношение на две [[цели числа]]. Това е доказано през [[1761]] от [[Йохан Хайнрих Ламберт]].

&pi;π е също [[трансцендентно число]] (доказано през [[1882]] от [[Фердинанд фон Линдеман]]). Това означава, че няма [[полином]] с [[рационално число|рационални]] коефициенти, корен на който да е &pi;π. Вследствие на трансцендентността &pi;π не е [[построимо число]]. От изискването [[координата|координатите]] на всички точки, които могат да се [[построение с линия и пергел|построят с линия и пергел]], да са построими числа, следва нерешимостта на задачата за [[квадратура на кръга|квадратурата на кръга]] (построяване с линия и пергел на квадрат с лице, равно на лицето на даден кръг).

== Формули, касаещи &pi;π ==

Също така [[ъгъл]] от 180° ([[Градус_Градус (ъгъл)|градуса]]) е равен на &pi;π [[радиан]]а.

Много от формулите в [[Математически анализ|анализа]] съдържат &pi;π, включително представянето на [[безкрайни редове]], [[интеграл]]ите и т.нар. [[специални математически функции]].

* Формула на [[Франсоа Виет|Виет]], [[1593]] ([[Формула на Виет за пи|доказателство]]):

*: <math>\frac{2}{\pi}=

* Формула на [[Готфрид Вилхелм Лайбниц|Лайбниц]] ([[Формула на Лайбниц за пи|доказателство]]):

*: <math>\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots =

* Представяне на [[Джон Уолис|Уолис]] ([[Представяне на Уолис|доказателство]]):

*: <math> \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots =

* Алгоритъм на Бейли – Борвин – Плюф (вж. Bailey, 1997 и [http://www.nersc.gov/~dhbailey/ официална страница на Бейли])

*: <math>\pi=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{16^k}\left [ \frac {4}{8k+1} - \frac {2}{8k+4} - \frac {1}{8k+5} - \frac {1}{8k+6}\right ]</math>

* [[Гаусов интеграл]]:

*: <math>\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}</math>

* [[Задача на Базел]], решена от [[Леонард Ойлер|Ойлер]] (вж. също [[Дзета-функция на Риман]]):

*: <math>\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}</math>

*: <math>\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}</math>

*: и в заключение, <math>\zeta(2n)</math> е рационално кратно на <math>\pi^{2n}</math> за цяло положително ''n''.

* [[Гама-функция]], изчислена при стойност на аргумента 1/2:

*: <math>\Gamma\left({1 \over 2}\right)=\sqrt{\pi}</math>

* [[Приближение на Стирлинг]]:

*: <math>n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n</math>

* [[Равенство на Ойлер]] (наречено от [[Ричард Файнман]] „най-забележителната формула в математиката“):

*: <math>e^{i \pi} + 1 = 0\;</math>

* Следствие от [[Ойлерова сума|Ойлеровата сума]] (вж. също [[анализ на Фурие]]):

*: <math>\sum_{k=1}^{n} \phi (k) \sim 3 n^2 / \pi^2</math>

* Лице на 1/4 от единичния кръг:

*: <math>\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\,dx = {\pi \over 4}</math>

* Следствие на [[Теорема за резидуумите|теоремата за резидуумите]]

*: <math>\oint\frac{dz}{z}=2\pi i,</math>

*: където линията на интегриране е окръжност около центъра на координатната система с посока, обратна на часовниковата стрелка.

&pi;π може да се представи с помощта на [[верижни дроби]] по много начини, най-известният от които е:

* [[Вероятност]]та две произволни цели числа да са [[взаимно прости числа|взаимно прости]] е 6/&pi;π².

* Вероятността произволно избрано цяло число да не се дели без остатък от нито едно [[квадратни числа|квадратно число]] е 6/&pi;π².

* Средният брой начини, по които едно положително цяло число може да бъде представено като сума на две квадратни числа, е &pi;π/4.

* [[Произведение (математика)|ПроизведениеПроизведението]]то от (1 – 1/p²) за прости ''p'', е 6/&pi;π².

*: <math> \prod_{p\in\mathbb{P}} \left(1-\frac {1} {p^2} \right) = \frac {6} {\pi^2} </math>