Разлика между версии на „Пи“

11 байта изтрити ,  преди 2 години
м
интервал; козметични промени
м (интервал; козметични промени)
{{обработка|източници}}
{{друго значение|трансцендентното число|буквата от гръцката азбука|Пи (буква)}}
[[FileФайл:Pi-unrolled-720.gif|thumbмини|360px|Анимация за връзката между дължината на окръжността и <b>'''пи</b>''']]
 
'''&pi;π''' (произнася се '''пи''') е [[Математически константи|математическа константа]], която представлява [[отношение]]то между дължината на дадена [[окръжност]] и нейния [[диаметър]] и обикновено се използва в [[математика]]та, [[физика]]та и [[техника]]та. Името на [[гръцка азбука|гръцката буква π]] се произнася '''„пи“'''. &pi;π е познато още като '''[[Лудолф фон Цойлен|Лудолфово]] число''' и като '''[[Архимед]]ова константа''' (да не се бърка с [[Архимедово число|Архимедовото число]]).
 
== Числова стойност ==
[[FileФайл:Pi Karlsplatz Pi.JPG|thumbмини|580px|<b>'''Пи</b>''' – Карлсплац, [[Виена]]]]
 
В [[Евклидова геометрия|евклидовата геометрия]] &pi;π може да бъде дефинирано както като [[отношение]] между дължината и [[диаметър]]а на една окръжност, така и като отношение на [[Площ|лицето]] на един кръг към лицето на квадрат със страна неговия [[радиус]]. Във висшата математика &pi;π се дефинира [[математически анализ|аналитично]] чрез използване на [[тригонометрична функция|тригонометрични функции]], например като най-малкото положително ''x'', за което sin''x'' = 0, или като удвоеното най-малко положително ''x'', за което cos''x'' = 0 (удвоеното най-малко положително ''x'', за което sin''x'' = 1). Всички тези дефиниции са еквивалентни.
 
Числото &pi;π е приблизително равно на 22/7 или на 3,14 с точност до третата значеща цифра.
 
Числовата стойност на &pi;π, закръглена до 100-ния знак след десетичната запетая, е
 
:'''''3,14159&nbsp;26535&nbsp;89793&nbsp;23846&nbsp;26433&nbsp;83279&nbsp;50288&nbsp;41971&nbsp;69399&nbsp;37510&nbsp;58209&nbsp;74944&nbsp;59230&nbsp;78164&nbsp;06286&nbsp;20899&nbsp;86280&nbsp;34825&nbsp;34211&nbsp;70679'''''
 
Въпреки че тази точност е повече от достатъчна за използване в науката и техниката, през последните няколко века в изчисляването на повече цифри и изследването на свойствата на числото са вложени много усилия. Независимо от многото аналитична работа, прибавена към изчисленията със [[суперкомпютър|суперкомпютри]], определили повече от 1 трилион цифри на &pi;π, не е намерена закономерност в поредицата от цифри. Цифрите на &pi;π могат да се намерят на много места в Интернет и обикновен [[персонален компютър]] може да изчисли трилиони цифри с [[софтуер за изчисляване на числото Пи|наличния софтуер]].
 
На [[31 декември]] [[2009]] г. френският програмист [[Фабрис Белар]] достигна точност до 2699999990000 цифри при десетична основа, ползвайки компютър с цена под 2000 евро и [[операционна система]] 64-битова версия на [[Red Hat Linux|Red Hat]] Fedora 10. Конфигурацията включва процесор Core i7 CPU, 2.93 GHz, памет 6 GB и пет диска в масив 7.5 TB RAID-0.
 
Приблизителни стойности на &pi;π, изразени като обикновена дроб са: 22/7 (според [[Архимед]]) и 355/113 (по оценка на древните китайски математици).
 
Съществуват различни [[Мнемоника|мнемотехнически]] начини за лесно запомняне на &pi;π. Закръглено с точност до десетия знак, &pi;π може да се запомни чрез следното изречение, в което всяка дума има съответния брой букви:
 
Как е леко и лесно запомнено Пи, всички знаят, щом желаят!
3 1 4 1 5 9 2 6 5 3 6
 
Трябва да се отбележи, че за практически, ежедневни нужди прецизност на &pi;π от 2 до 5 знака е достатъчна за почти всякакви пресмятания.
 
== Особености ==
[[КартинкаФайл:Pi-CM.svg|мини|]]
&pi;π е [[ирационално число]], т.е. то не може да бъде представено като отношение на две [[цели числа]]. Това е доказано през [[1761]] от [[Йохан Хайнрих Ламберт]].
&pi;π е също [[трансцендентно число]] (доказано през [[1882]] от [[Фердинанд фон Линдеман]]). Това означава, че няма [[полином]] с [[рационално число|рационални]] коефициенти, корен на който да е &pi;π. Вследствие на трансцендентността &pi;π не е [[построимо число]]. От изискването [[координата|координатите]] на всички точки, които могат да се [[построение с линия и пергел|построят с линия и пергел]], да са построими числа, следва нерешимостта на задачата за [[квадратура на кръга|квадратурата на кръга]] (построяване с линия и пергел на квадрат с лице, равно на лицето на даден кръг).
 
== Формули, касаещи &pi;π ==
=== Геометрия ===
<math>\pi</math> е част от много формули в [[геометрия]]та, отнасящи се до [[окръжност]]и и [[Сфера|сфери]].
(Всички формули са следствие от първата, ако лицето ''S'' на кръга бъде представено като <math>S = \int 2 \pi r dr</math>.)
 
Също така [[ъгъл]] от 180° ([[Градус_Градус (ъгъл)|градуса]]) е равен на &pi;π [[радиан]]а.
 
=== Анализ ===
Много от формулите в [[Математически анализ|анализа]] съдържат &pi;π, включително представянето на [[безкрайни редове]], [[интеграл]]ите и т.нар. [[специални математически функции]].
 
* Формула на [[Франсоа Виет|Виет]], [[1593]] ([[Формула на Виет за пи|доказателство]]):
*: <math>\frac{2}{\pi}=
\frac{\sqrt2}{2} \cdot
\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2} \cdot
\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}{2}\ldots</math>
* Формула на [[Готфрид Вилхелм Лайбниц|Лайбниц]] ([[Формула на Лайбниц за пи|доказателство]]):
*: <math>\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots =
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2n+1} =
\frac{\pi}{4}</math>
* Представяне на [[Джон Уолис|Уолис]] ([[Представяне на Уолис|доказателство]]):
*: <math> \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots =
\prod_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{2n-1} \cdot \frac{2n}{2n+1} =
\prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)^2}{(2n)^2-1} =
\frac{\pi}{2} </math>
* Алгоритъм на Бейли – Борвин – Плюф (вж. Bailey, 1997 и [http://www.nersc.gov/~dhbailey/ официална страница на Бейли])
*: <math>\pi=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{16^k}\left [ \frac {4}{8k+1} - \frac {2}{8k+4} - \frac {1}{8k+5} - \frac {1}{8k+6}\right ]</math>
* [[Гаусов интеграл]]:
*: <math>\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}</math>
* [[Задача на Базел]], решена от [[Леонард Ойлер|Ойлер]] (вж. също [[Дзета-функция на Риман]]):
*: <math>\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}</math>
*: <math>\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}</math>
*: и в заключение, <math>\zeta(2n)</math> е рационално кратно на <math>\pi^{2n}</math> за цяло положително ''n''.
* [[Гама-функция]], изчислена при стойност на аргумента 1/2:
*: <math>\Gamma\left({1 \over 2}\right)=\sqrt{\pi}</math>
* [[Приближение на Стирлинг]]:
*: <math>n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n</math>
* [[Равенство на Ойлер]] (наречено от [[Ричард Файнман]] „най-забележителната формула в математиката“):
*: <math>e^{i \pi} + 1 = 0\;</math>
* Следствие от [[Ойлерова сума|Ойлеровата сума]] (вж. също [[анализ на Фурие]]):
*: <math>\sum_{k=1}^{n} \phi (k) \sim 3 n^2 / \pi^2</math>
* Лице на 1/4 от единичния кръг:
*: <math>\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\,dx = {\pi \over 4}</math>
* Следствие на [[Теорема за резидуумите|теоремата за резидуумите]]
*: <math>\oint\frac{dz}{z}=2\pi i,</math>
*: където линията на интегриране е окръжност около центъра на координатната система с посока, обратна на часовниковата стрелка.
 
=== Безкрайни дроби ===
&pi;π може да се представи с помощта на [[верижни дроби]] по много начини, най-известният от които е:
 
:<math> \frac{4}{\pi} = 1 + \frac{1}{3 + \frac{4}{5 + \frac{9}{7 + \frac{16}{9 + \frac{25}{11 + \frac{36}{13 + ...}}}}}} </math>
=== Теория на числата ===
Някои изводи от [[теория на числата|теорията на числата]]:
* [[Вероятност]]та две произволни цели числа да са [[взаимно прости числа|взаимно прости]] е 6/&pi;π<sup>2</sup>.
* Вероятността произволно избрано цяло число да не се дели без остатък от нито едно [[квадратни числа|квадратно число]] е 6/&pi;π<sup>2</sup>.
* Средният брой начини, по които едно положително цяло число може да бъде представено като сума на две квадратни числа, е &pi;π/4.
* [[Произведение (математика)|ПроизведениеПроизведението]]то от (1 – 1/p<sup>2</sup>) за прости ''p'', е 6/&pi;π<sup>2</sup>.
*: <math> \prod_{p\in\mathbb{P}} \left(1-\frac {1} {p^2} \right) = \frac {6} {\pi^2} </math>
 
== Вижте още ==
 
{{нормативен контрол}}
 
[[Категория:Математически константи]]
[[Категория:Трансцендентни числа]]