Взаимно прости числа: Разлика между версии

'''Взаимно прости числа''' в [[математика]]та се наричат две или повече [[цяло число|цели числа]], чиито единствени общи делители са 1 и −1−1 или, изразено по друг начин, чийто [[най-голям общ делител]] е единица.

Например 6 и 35 са взаимно прости, но 6 и 27 не са, понеже и двете се делят на 3. Числото 1 е взаимно просто с всяко цяло число, а 0 е взаимно просто само с 1 и −1−1.

[[Функция на Ойлер|Функцията на Ойлер]] от положително цяло число ''n'' дава броя на целите числа между 1 и ''n''−1−1, които са взаимно прости с ''n''.

* Съществуват цели числа ''x'' и ''y'', такива, че ''ax'' + ''by'' = 1 (виж [[Теорема на Безу]]).

* Цялото число ''b'' има [[реципрочност|реципрочен]] [[модул (аритметика)|модул]] ''a'': съществува цяло число ''y'', такова, че ''by'' ≡≡ 1 (mod ''a''). С други думи, ''b'' е [[неутрален елемент (теория na пръстените)|неутрален елемент]] в [[пръстен (математика)|пръстенпръстена]]а '''Z'''/''a'''''Z''' от цели числа с модул ''a''.

sama и ''b'' са взаимно прости и ''br'' &equiv;≡ ''bs'' (mod ''a''), то ''r'' &equiv;≡ ''s'<del>' (mod '</del>'a'') (тъй като можем да „делим на ''b''“, когато работим с модул ''a''). Освен това, ако ''a'' и ''b''₁ са взаимно прости и ''a'' и ''b''₂ са взаимно прости, то ''a'' и ''b''₁''b''₂ са също взаимно прости (тъй като прозиведението на неутрални елементи е неутрален елемент).

[[Вероятност]]та две произволно взети цели числа да са взаимно прости е 6/[[Пи|&pi;π]]², което е около 60%.

Две [[естествено число|естествени числа]] ''a'' и ''b'' са взаимно прости тогава и само тогава, когато числата 2^''a'' &minus;− 1 и 2^''b'' &minus;− 1 са взаимно прости.

Ако ''n''&ge;1≥1 е [[цяло число]], числата, взаимно прости с ''n'', взети по модул ''n'', образуват [[група (алгебра)|група]] относно умножението. Тя се записва като ('''Z'''/''n'''''Z''')^&times;× or '''Z'''_n^*.

Два [[идеал (алгебра)|идеалидеала]]а ''A'' и ''B'' в [[комутативност|комутативния]] [[пръстен (алгебра)|пръстен]] ''R'' са взаимно прости, ако ''A'' + ''B'' = ''R''. Това е обобщение на теоремата на Безу: с тази дефииниция два [[главен идеал|главни идеала]] (''a'') и (''b'') в пръстена от цели числа '''Z''' са взаимно прости тогава и само тогава, когато ''a'' и ''b'' са взаимно прости.

Ако идеалите ''A'' и ''B'' в ''R'' са взаимно прости, то ''AB'' = ''A''&cap;∩''B''. Освен това, ако ''C'' е трети идеал, такъв, че ''A'' съдържа ''BC'', то ''A'' съдържа ''C''. [[Китайска теорема за остатъците|Китайската теорема за остатъците]] е много важно твърдение за взаимно простите идеали.