Преобразование на Фурие: Разлика между версии
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
Редакция без резюме |
м интервал; козметични промени |
||
Ред 12:
Ако разглеждаме функциите <math>f</math> от хилбертовото пространство <math>L^2(\mathbb{R}^n)</math>, т.е. всички фунцкии, за които <math>\int_{\mathbb{R}^n}|f(t)|^2dt<\infty</math>, можем да дефинираме преобразованието на Фурие като линеен оператор <math>\mathcal{F}:L^2(\mathbb{R}^n)\rightarrow L^2(\mathbb{R}^n)</math>, за който е изпълнено следното
* <math>\mathcal{F}f=\hat f, f\in L^1\cap L^2</math>,
* <math>\|\mathcal{F}f\|_{L^2}=\|f\|_{L^2}</math>.
Според теоремата на Планшерел операторът, който изпълнява горните условия е единствен и тогава можем да говорим за преобразование на Фурие, дефинирано в <math>L^2(\mathbb{R}^n)</math>.
Ред 23:
== Свойства на коефициентите на Фурие ==
Коефициентите на Фурие имат следните свойства:
* <math>\widehat{f+g}(n)=\hat f(n)+\hat g(n)</math> за <math>f,g\in L^1(\mathbb{T})</math>;
* <math>\widehat{cf}(n)=c\hat f(n)</math> за <math>c\in\mathbb{C}, f\in L^1(\mathbb{T})</math>;
* <math>\hat{\bar{f}}(n)=\overline{\hat f(n)}</math> за <math>f\in L^1(\mathbb{T})</math>;
* Ако означим <math>f_\tau(t)=f(t-\tau), \tau\in\mathbb{T}</math>, то <math>\hat f_\tau(n)=\hat f(n)e^{-int}</math> (транслация се преобразува в модулация);
* Ако означим <math>f^m(t)=e^{2\pi i mt}f(t), m\in\mathbb{Z}</math>, то <math> \hat f^m(n)=f(n-m)</math> (модулация се преобразува в транслация);
* <math>\widehat{(f\ast g)}(n)=\hat f(n)\cdot \hat g(n)</math> (конволюция се преобразува в произведение);
* Оценка на коефициентите: <math>|\hat f(n)|\le\frac 1{2\pi}\int_{\mathbb{T}}|f(t)|dt.</math>
=== Непрекъснатост ===
Ред 39:
За всяка функция <math>f\in L^1(\mathbb{T})</math> е изпълнено <math>\lim_{|n|\to\infty}\hat f(n)=0</math>.
<!-- [[Категория:Хармоничен анализ]] -->▼
[[Категория:Математика]]
[[Категория:Математически анализ]]
▲<!-- [[Категория:Хармоничен анализ]] -->
| |||