Ред на Фурие: Разлика между версии

Една от основните задачи на класическия хармоничен анализ е да определи при какви условия редът на Фурие ''S(f)'' клони към функцията ''f''. Друг важен въпрос е кои свойства на ''f'': ограниченост, диференцируемост, непрекъснатост са отразени във фуриеровите коефициенти.

 

 

 

Частичните суми на реда на Фурие <math>S_N(f)=\sum_{n=-N}^N \hat f(n)e^{int}</math> могат да се изразят като конволюция на ''f'' с [[ядро на Дирихле|ядрото на Дирихле]] <math>D_N</math>. Тъй като [[ядро на Дирихле|ядрото на Дирихле]] не е [[сумиращо ядро]], е доста трудно да се изведе сходимост на реда на Фурие в общия случай.

 

Ако <math>f\in L^1(\mathbb T)</math> е непрекъсната в точката <math>t_0</math> и редът на Фурие на ''f'' е сходящ в <math>t_0\in \mathbb T</math>, то

:<math>S(f)(t_0)=f(t_0).</math>

 

Ако редът на Фурие на <math>f\in L^1(\mathbb T)</math> е сходящ в някое подмножество ''Е'' с положителна мярка, то сумата му е равна на почти навсякъде в ''Е''. В частност, ако редът на Фурие на <math>f\in L^1(\mathbb T)</math> е сходящ почти навсякъде в тора, то той клони към ''f'' почти навсякъде в тора.

 

Нека да означим с <math>A(\mathbb T)</math> множеството на онези непрекъснати функции в тора с абсолютно сходящ ред на Фурие, т.е. функциите <math>f\in C[0,2\pi)</math>, за които е изпълнено

 

:<math>\sum_{n=-\infty}^\infty|\hat f(n)|<\infty.</math>

 

 

 

е равномерно сходящ в тора и ако означим сумата му с ''g'', имаме от свойствата на преобразованието на Фурие,

:<math>a_n=\hat g(n).</math>

 

:<math>\|f\|_{A(\mathbb T)}:=\sum_{n\in\mathbb Z}|\hat f(n)|,</math>

 

не е трудно да се покаже, че горната формула определя [[норма]] в <math>A(\mathbb T)</math>.

 

<math>A(\mathbb T)</math> и <math>\ell^1(\mathbb Z)</math> са изоморфни банахови пространства. Още повече, понеже

:<math>\|f\cdot g\|_{A(\mathbb T)}\le\|f\|_{A(\mathbb T)}\|g\|_{A(\mathbb T)},</math>

Не всяка непрекъсната функция в тора има абсолютно сходящ ред на Фурие. Онези непрекъснати функции, които не са в <math>A(\mathbb T)</math>, не могат да бъдат характеризирани чрез техните производни например. Някои условия са достатъчни обаче, за да бъде редът на Фурие абсолютно сходящ.

 

: <math>\sup_{t\in\mathbb{T}, h\neq 0}\frac{|f(t+h)-f(t)|}{|h|^\alpha}<\infty</math>

 

Условието <math>\alpha>\frac 12</math> е необходимо, понеже съществуват функции в <math>Lip_{\frac12} (\mathbb T)</math>, чийто ред на Фурие не е абсолютно сходящ. Виж [[ред на Харди-Литълууд]].

 

Ако <math>f\in Lip_\alpha (\mathbb T),\alpha>0</math> и ''f'' е с ограничена вариация, то <math>f\in A(\mathbb T)</math>.

 

С най-голям успех при сходимостта на техния ред на Фурие се ползват функциите от <math>L^2(\mathbb T)</math>. Това се дължи на факта, че това пространство е [[хилбертово пространство|хилбертово]]. [[скаларно произведение|Скаларното произведение]] в <math>L^2(\mathbb T)</math> се дефинира с равенството

:<math>\langle f, g\rangle=\frac 1{2\pi}\int_{\mathbb T}f(t)\overline{g(t)}\,dt</math>

 

Следователно

:<math>a_n=\hat f(n).</math>

Нека <math>f,g\in L^2(\mathbb T)</math>. Тогава

 

:<math>\frac 1{2\pi}\int_{\mathbb T} f(t)\overline{g(t)}\,dt=\sum_{n=-\infty}^\infty \hat f(n)\overline{\hat g(n)}</math>

 

 

[[Категория:Хармоничен анализ]]