Функция на Вайерщрас: Разлика между версии

[[FileФайл:WeierstrassFunction.svg|мини|300px|Графика на функцията в интервала [−2, 2]. Наблюдава се [[фрактал]]но поведение: в големия червен кръг е показана графиката на функцията в малкия в червен кръг. Увеличената графика в малкия интервал прилича много на графиката на функцията в по-големия интервал.]]

'''Функцията на Вайерщрас''' е особен пример за [[реални числа|реална]] [[функция]], която е навсякъде [[непрекъснатост|непрекъсната]] и никъде [[диференцируемост|диференцируема]] (т.е. функцията е непрекъсната за всяко ''x'', но в нито една точка не може да бъде построена допирателната към нея)<ref>{{Цитат уеб|уеб_адрес=http://mathworld.wolfram.com/WeierstrassFunction.html |заглавие=Weierstrass Function |достъп_дата=17.01. януари 2007 |автор=Weisstein, Eric W. |издател=[[MathWorld]]--A Wolfram Web Resource |език=en}}</ref>. Открита е от [[германци|немския]] [[математик]] [[Карл Вайерщрас]]. Исторически, откриването на тази функция е важно, понеже е [[контрапример]] на твърдението, че всяка непрекъсната функция е диференцируема, освен в краен брой точки.

В статията на Вайерщрас<ref>Karl Weierstrass, Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzeren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen</ref>, функцията е дефинирана по следния начин:

където <math>0<a<1</math>, освен това <math>b</math> е положително нечетно число, а

Този запис, заедно с доказателството, че функцията не е диференцируема (т.е. че в нито една точка не може да се построи допирателна) e представено от Вайерщрас в статия, представена пред Гьотингенската академия на науките ({{lang-de|'Königliche Akademie der Wissenschaften'}}) на 12 юли 1872.

Доказателството, че функцията <math>f(x)</math> е непрекъсната, е елементарно. Тъй като членовете на безкрайния [[числов ред|ред]], който дефинира функцията на Вайерщрас, са ограничени от <math>a^n</math> и редът <math>\sum_{k=0}^{\infty}a^n</math> е сходящ за <math>0 < a < 1</math>, изходният ред е [[Равномерна сходимост|равномерно сходящ]], според [[Критерий на Вайерщрас|критерия на Вайерщрас]]. Тъй като всяка частична сума е непрекъсната, и границата на равномерно сходяща редица от непрекъснати функции е непрекъсната, то <math>f(x)</math> е непрекъсната.

Продължението на доказателството е значително по-сложно.

Априорно, очакваме че непрекъсната функция трябва е и диференцируема, освен в краен брой точки. В статията си, Вайерщрас отбелязва, че математици от по-ранни епохи, например Гаус, са приемали това за вярно. Вероятната причина е трудността да се нарисува или представи функция, за която множеството на точките, в които тя не е диференцируема, е безкрайно, (подобно на [[Липшицова функция|Липшицовите функции]], при които това множество е [[пренебрежимо по Лебег]]). Обикновено, когато даваме пример за непрекъсната функция, чертаем графика на Липшицова функция, която притежава ред други свойства, освен непрекъснатост.

Вайерщрасовата функция може да бъде разглеждана като един от първите „[[фрактали]]“, въпреки че терминът е въведен много по-късно. Когато разглеждаме отблизо част от графиката на функцията, тя не се приближава до права линия, както диференцируемите функции, а показва сткруктури, които приличат на графиката на същата функция, но в по-голям мащаб. Това може и да се изрази по следния начин: за всеки две точки, независимо колко близо са една до друга, функцията никога не е монотонна. В своята книга „The Geometry of Fractal Sets“, Кенет Фалконер отбелязва, че [[Хаусдорфова размерност|Хаусдорфовата размерност]] на графиката на Вайерщрасовата функция е ограничена отгоре от числото <math>\frac{\log a}{\log b + 2}</math>, (където a и b са константите от определението на функцията на Вайерщрас, виж по-горе). Обикновено се приема, че Хаусдорфовата размерност е равна на тази горна граница, но това не е строго доказано.