Конично сечение: Разлика между версии
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
Ted Masters (беседа | приноси) м Грешки в математически формули; – → - редактирано с AWB |
мРедакция без резюме |
||
Ред 20:
Множеството от точки М в равнината, за които така определеният ексцентрицитет е [[константа|постоянно число]], се нарича ''конично сечение'', точка F – ''фокус'', а правата ''d'' – ''директриса''.
Нека е въведена [[декартова координатна система]] <math>O \xi \eta </math>, такава че <math>O \eta</math> съвпада с правата ''d'', оста <math>O \xi </math> минава през ''F''. В така подбраната координатна система правата d има уравнение <math>\xi = 0</math>, а F има координати (p, 0), където p е разстоянието от фокуса F до директрисата d. Така от дефиниционното равенство <math> \frac{ \mid MF \mid}{ \mid MM' \mid} = e </math> следва, че <math>\displaystyle{(\xi - p)^2 + \eta^2 = e^2\xi^2}</math>, което след
: <math>\displaystyle{(1-e^2)\xi^2 + \eta^2 - 2p\xi + p^2 = 0}</math>, което е уравнение от втора степен на двете неизвестни <math>\xi, \eta</math>.
Двата основни случая се определят в зависимост от това дали коефициентът пред <math>\xi^2</math> се [[нула|нулира]] или не, т.е. в зависимост от това дали ексцентрицитетът е равен на или различен от 1.
# При <math> e = 1 </math>, уравнението приема вида <math>\displaystyle{\eta^2 - 2p\xi + p^2 = 0}</math>, което след полагането <math> \displaystyle{\xi = x + \frac{p}{2}, \eta = y}</math> а оттам след обратно
# Нека <math> e \ne 1</math>. С полагането на <math> \displaystyle{\xi = x + \alpha, \eta = y}</math> се прави [[транслация]] на координатната система, където <math>\alpha </math> е неизвестната величина, която подлежи на определяне. След заместването и елементарни преобразувания, следва че <math>\displaystyle{2 \alpha(1 - e^2) - 2p = 0}</math>, оттук <math>\alpha = \frac{p}{1 - e^2}</math> и <math>(1-e^2)x^2 + y^2 = \frac{p^2e^2}{1 - e^2}</math>. Оттук насетне има два случая, в зависимост от ''е''.
## При <math>e < 1, 1 - e^2 > 0 </math> и като разделим на <math>\frac{p^2e^2}{1 - e^2}</math>, при полагане на <math>a = \frac{pe}{1 - e^2}, b = \frac{pe}{\sqrt{1 - e^2}}</math> получаваме, че <math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1</math>, което се нарича ''канонично уравнение на елипсата''. <br /> Елипсата се определя и като геометричното място от точки, за които сумата от разстоянията до две предварително фиксирани точки е постоянно число (бифокална дефиниция).<ref name="kamenarov" />
Ред 53:
== Приложения ==
Приложение коничните сечения имат в [[астрономия]]та: те участват в математическия апарат, с който [[Йохан Кеплер|Кеплер]] и [[Исак Нютон]] описват движението на планетите. Кеплер формулира [[Закони на Кеплер|закона]], че [[планета|планетите]] се движат по елипсовидна [[орбита]], в единия фокус на която се намира [[Слънце]]то. По-общо, всички [[небесно тяло|небесни тела]], които се намират под въздействието на слънчевата [[гравитация]] и върху които не оказват влияние други [[сила (физика)|сили]], се движат по орбита с форма на някое конично сечение, за което Слънцето е фокус. Непериодичните [[комета|комети]] се движат по парабола и хипербола, а периодичните – по силно издължени елипси.<ref>{{Цитат уеб|уеб_адрес=http://planetmath.org/encyclopedia/DandelinSphere.html |заглавие=Информация за коничните сечения |достъп_дата=17/05/2007 |автор= |съавтори= |дата= |формат= |издател=PlanetMath.org |език=en}}</ref>
== Източници ==
| |||