Неперово число: Разлика между версии
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
м замяна с n-тире |
мРедакция без резюме |
||
Ред 3:
То е една от най-важните константи в [[математика]]та. Възниква естествено при описанието на различни процеси в природните и обществените науки. Числото <math>e</math> е основата на [[Естествен логаритъм|естествените (натуралните) логаритми]]''.''
==
Числото <math>e</math> се нарича Неперово число в чест на шотландския учен [[Джон Непер]]
:<math>10^7\cdot\,\log_{1/e}\left(\frac{x}{10^7}\right) \,\!</math>▼
=== Сложна лихва ===▼
[[Якоб Бернули]] открил числото <math>e</math> през 1685 г. при изучаване на [[Сложна лихва|сложната лихва]].<ref name="OConnor">{{cite web|url = <!-- http://www.gap-system.org/~history/PrintHT/e.html -->http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/e.html|title = The number ''e''|publisher = MacTutor History of Mathematics|first1 = J J|last1 = O'Connor|first2 = E F|last2 = Robertson}}</ref>▼
Числото <math>e</math> негласно присъства в приложение към превода на английски език на споменатата работа на Непер. В тази работа има само таблица на естествените логаритми, а за числото <math>e</math> не е дадено определение. Предполага се, че автор на приложението е английският математик Уилям Оутред. Самото число <math>e</math> е получено за първи път от [[Якоб Бернули]] при опит да изчисли границата▼
:Нека имаме 1 лев в банкова сметка с годишна лихва 100%. Ако сметката се олихвява веднъж годишно, то след изтичане на годината ще имаме 2 лева. Колко лева ще имаме в края на годината, ако лихвата се начислява на по-къси интервали (и се натрупва към сметката)?▼
Ако лихвата се начислява веднъж на 6 месеца от годината (по 50% на шестмесечие), то в края на годината ще получим '''2,25 лв.''' Ако лихвата се начислява ежемесечно (по 100%: 12 = 8,33% на месец), то в края на годината ще имаме '''2,61 лв'''. Ако лихвата се начислява ежедневно (по 100%: 365 = 0,274% на ден), то в края на годината ще имаме '''2,71 лв.''' Колкото по-често се олихвява сметката, толкова по-голяма сума се получава. Обаче крайният резултат не расте неограничено. Бернули забелязал, че резултатът не надхвърля определена граница, а именно '''2,72 лв.''', към която стойност се приближава паричната сума в края на годината, когато сметката се олихвява все по-често и по-често. Именно тази гранична стойност '''2,718281828459045... лв.''' е '''Неперовото число''.''''' Наречено е в чест на Джон Непер – изобретателя на логаритмите.▼
:<math>\lim_{n\,\to\,\infty} \,\left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math>.▼
Първото известно използване на тази константа (с друго обозначение) се среща в писмата на [[Готфрид Лайбниц|Лайбниц]] до [[Кристиян Хюйгенс|Хюйгенс]] (около [[1691]] г.). Буквата <math>e</math> първи използва [[Ойлер]] през [[1727]] г., а първата публикация с тази буква е неговата „Механика, или наука за движението, изложена аналитично“. Поради това числото <math>e</math> понякога се нарича „число на Ойлер“. Не е известно защо е избрана точно тази буква. Най-вероятната причина е, че с нея започва думата „експонента“ (показател).▼
== Дефиниция ==
Line 16 ⟶ 20:
* като сума на безкраен числов ред: <math>e = \sum_{k\,=\,0}^{\infty}{\;\frac{1}{k!}} </math> .
== Други представяния на числото ''e'' ==▼
:<math>e = \lim_{n\,\to\,\infty} \;\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}</math>▼
:<math>e=2\cdot\sqrt{\frac{4}{3}}\cdot\sqrt[4]{\frac{6\cdot 8}{5\cdot 7}}\cdot\sqrt[8]{\frac{10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}\cdots</math>▼
:<math>e = \lim_{n\,\to\,\infty} \;\left({\rm }\frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} - \frac{n^n}{(n-1)^{n-1}}\right)</math>▼
:<math>e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1,\dots]</math>▼
== Свойства ==
Line 49 ⟶ 47:
:<math>e = 2+\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{8 + \ldots}}}}}}}}}}}</math>
== Приложения ==
▲=== Сложна лихва ===
▲[[Якоб Бернули]] открил числото <math>e</math> през 1685 г. при изучаване на [[Сложна лихва|сложната лихва]].<ref name="OConnor">{{cite web|url = <!-- http://www.gap-system.org/~history/PrintHT/e.html -->http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/e.html|title = The number ''e''|publisher = MacTutor History of Mathematics|first1 = J J|last1 = O'Connor|first2 = E F|last2 = Robertson}}</ref>
▲:Нека имаме 1 лев в банкова сметка с годишна лихва 100%. Ако сметката се олихвява веднъж годишно, то след изтичане на годината ще имаме 2 лева. Колко лева ще имаме в края на годината, ако лихвата се начислява на по-къси интервали (и се натрупва към сметката)?
▲Ако лихвата се начислява веднъж на 6 месеца от годината (по 50% на шестмесечие), то в края на годината ще получим '''2,25 лв.''' Ако лихвата се начислява ежемесечно (по 100%: 12 = 8,33% на месец), то в края на годината ще имаме '''2,61 лв'''. Ако лихвата се начислява ежедневно (по 100%: 365 = 0,274% на ден), то в края на годината ще имаме '''2,71 лв.''' Колкото по-често се олихвява сметката, толкова по-голяма сума се получава. Обаче крайният резултат не расте неограничено. Бернули забелязал, че резултатът не надхвърля определена граница, а именно '''2,72 лв.''', към която стойност се приближава паричната сума в края на годината, когато сметката се олихвява все по-често и по-често. Именно тази гранична стойност '''2,718281828459045... лв.''' е '''Неперовото число''.''''' Наречено е в чест на Джон Непер – изобретателя на логаритмите.
▲== Други представяния на числото ''e'' ==
▲:<math>e = \lim_{n\,\to\,\infty} \;\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}</math>
▲:<math>e=2\cdot\sqrt{\frac{4}{3}}\cdot\sqrt[4]{\frac{6\cdot 8}{5\cdot 7}}\cdot\sqrt[8]{\frac{10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}\cdots</math>
▲:<math>e = \lim_{n\,\to\,\infty} \;\left({\rm }\frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} - \frac{n^n}{(n-1)^{n-1}}\right)</math>
▲:<math>e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1,\dots]</math>
== Доказателство за ирационалността на числото ''e'' ==
Line 79 ⟶ 90:
:::<math>\;27466\;39193\;20030\;59921\;81741\;35966\;29043\;57290\;03342\;95260</math>
:::<math>\;59563\;07381\;32328\;62794\;34907\;63233\;82988\;07531\;95251\;01901\,\ldots</math>.
▲Числото <math>e</math> се нарича Неперово число в чест на шотландския учен [[Джон Непер]] — автор на съчинението „Описание на удивителните таблици на логаритмите“ ([[1614]] г.). Това не е съвсем правилно, тъй като в него [[логаритъм]]ът на <math>x</math> е равен на
▲:<math>10^7\cdot\,\log_{1/e}\left(\frac{x}{10^7}\right) \,\!</math>
▲Числото <math>e</math> негласно присъства в приложение към превода на английски език на споменатата работа на Непер. В тази работа има само таблица на естествените логаритми, а за числото <math>e</math> не е дадено определение. Предполага се, че автор на приложението е английският математик Уилям Оутред. Самото число <math>e</math> е получено за първи път от [[Якоб Бернули]] при опит да изчисли границата
▲:<math>\lim_{n\,\to\,\infty} \,\left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math>.
▲Първото известно използване на тази константа (с друго обозначение) се среща в писмата на [[Готфрид Лайбниц|Лайбниц]] до [[Кристиян Хюйгенс|Хюйгенс]] (около [[1691]] г.). Буквата <math>e</math> първи използва [[Ойлер]] през [[1727]] г., а първата публикация с тази буква е неговата „Механика, или наука за движението, изложена аналитично“. Поради това числото <math>e</math> понякога се нарича „число на Ойлер“. Не е известно защо е избрана точно тази буква. Най-вероятната причина е, че с нея започва думата „експонента“ (показател).
== Вижте също ==
| |||