Граница (математика): Разлика между версии
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
мРедакция без резюме Етикети: добавен етикет nowiki в статията Визуален редактор |
мРедакция без резюме |
||
Ред 7:
и се чете: границата на {{math|''f''}} на {{math|''x''}}, когато {{math|''x''}} се доближава до {{math|''c''}}, е равна на {{math|''L''}}. Фактът, че функцията {{math|''f''}} се доближава до лимита {{math|''L''}}, когато {{math|''x''}} се доближава до {{math|''c''}}, понякога се записва със стрелка, например:
:<math>f(x) \to L \text{ as } x \to c.</math>
== Граница на функция ==▼
Границата на функция характеризира определено поведение на функционалните стойности на функцията f(x), когато независимата променлива х клони към определена стойност х<sub>0</sub> или съответно към +∞ или -∞.▼
'''Дефиниция 1'''. Казваме, че функцията f(x) клони към '''границата''' ''l'' при ''х'', клонящо към ''х''<sub>0</sub>, ако когато аргументът ''х'' клони към ''х''<sub>0</sub>, функционните стойности ''f(x'') се приближават все повече до дадено число ''l'', т.е. когато разликата |''f''(''x'') – ''l''| става произволно малка за всички ''х'', лежащи в достатъчно малка околност на ''х''<sub>0</sub>. Означаваме▼
:<math>\lim_{x \rightarrow x_0}f(x) = l.</math>▼
'''Дефиниция 2.''' Функцията ''f''(''x'') има граница в дадена точка ''x''<sub>0</sub>, ако за произволно малко число <math>\epsilon > 0</math> съществува друго произволно малко число <math>\delta (\epsilon) > 0</math>, такова че от <math> 0 < | x - x_0 | < \delta (\epsilon)</math> следва <math>| f(x) - l | < \epsilon.</math>. Това се записва още така:▼
:<math>\forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0\,:\,0 < | x - x_0 | < \delta \Rightarrow | f(x) - l | < \epsilon </math>▼
[[Файл:Sinc_function.png|мини|Функцията sin''x''/''x'']]▼
'''Граница''' се въвежда и ако директното пресмятяне на стойността на функция в разглеждана точка води до неопределеност от типа 0/0. Например директното пресмятяне на стойността на функцията▼
<math>\frac{\sin x}{x}</math>▼
за <math>x = 0</math> води до резултат 0/0, който не е еднозначно дефиниран. Но ако изчислим стойността на същата функция за стойности на ''х'', близки до 0, например 0,0001, ще получим 1, т.е.▼
<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}f(x) = 1</math>.▼
[[Файл:Tan.svg|мини|Функцията tg ''x'']]▼
=== Лява и дясна граница на функция ===▼
В много случаи независимата променлива ''х'' клони към ''х''<sub>0</sub> чрез растящи редици от стойности, т.е. ''отляво'', или чрез намаляващи редици от стойности, т.е. ''отдясно''. Получените граници в тези случаи се наричат '''лява''' и '''дясна''' '''граница''' на функцията в зависимост от това, дали аргументът остава съответно по-малък или по-голям от стойността, към която клони. Бележат се със:▼
<math>\lim_{ x \rightarrow x_0-}f(x)</math> за лява граница и▼
<math>\lim_{ x \rightarrow x_0+}f(x)</math> за дясна граница.▼
Лява и дясна граница се определят в случаите, когато тези две стойности са различни – тогава функцията е прекъсната в дадената точка. Например лявата и дясната граница на функцията tg ''x'' при ''х'', клонящо към 90°, са съответно +∞ и -∞.▼
=== Неистинска граница на функция ===▼
Казва се, че функцията ''f''(''x'') има '''неистинска граница''' +∞ или -∞, ако за всяко произволно голямо число ''С'' > 0 съществува такова число <math>\delta (''C'') > 0</math>, че за всички ''х'', за които <math>0 < |x - a| < \delta</math>, е изпълнено неравенството ''f''(''x'') > ''C'', съответно ''f''(''x'') < -''C''. Означава се:▼
:<math>\lim_{ x \rightarrow a} f(x)</math> = +∞, <math>\lim_{ x \rightarrow a} f(x)</math> = -∞.▼
=== Поведение на функциите в безкрайността ===▼
Поведението на дадена функция ''f''(''x'') за много големи положителни и много малки отрицателни стойности на аргумента ''х'' се определя със следните дефиниции:▼
Казва се, че▼
:<math>\lim_{ x \rightarrow \infty} f(x) = A,</math> и съответно <math>\lim_{ x \rightarrow -\infty} f(x) = A,</math>▼
ако за произволно отнапред дадено ε > 0 съществува такова достатъчно голямо ''х''<sub>0</sub> > 0, че |''f''(''x'') – ''A''| < ε за всички ''x'' > ''x''<sub>0</sub> или съответно за всички ''x'' < -''x''<sub>0</sub>.▼
С помощта на '''границата''' се определят такива основни математически понятия като [[непрекъснатост]], [[производна]] и [[интеграл]].▼
== Граница на числова редица ==
Line 58 ⟶ 106:
* Ако за всички членове на сходящата редица (''а''<sub>''n''</sub>) при <math>n \ge n_0</math> са изпълнени неравенствата <math>A \le a_n \le B,</math> то тези неравенства са изпълнени и за границата ''а'' на редицата: <math>A \le a \le B.</math>
* Ако <math> a_n, b_n, c_n</math> са три сходящи редици, такива че <math> \lim_{n\to \infty} a_n= \lim_{n\to \infty} c_n=d</math> и <math>a_h\le b_h\le c_h</math> <math>\forall h</math>, то <math>\lim_{n\to \infty} b_n=d</math>.
▲== Граница на функция ==
▲Границата на функция характеризира определено поведение на функционалните стойности на функцията f(x), когато независимата променлива х клони към определена стойност х<sub>0</sub> или съответно към +∞ или -∞.
▲'''Дефиниция 1'''. Казваме, че функцията f(x) клони към '''границата''' ''l'' при ''х'', клонящо към ''х''<sub>0</sub>, ако когато аргументът ''х'' клони към ''х''<sub>0</sub>, функционните стойности ''f(x'') се приближават все повече до дадено число ''l'', т.е. когато разликата |''f''(''x'') – ''l''| става произволно малка за всички ''х'', лежащи в достатъчно малка околност на ''х''<sub>0</sub>. Означаваме
▲:<math>\lim_{x \rightarrow x_0}f(x) = l.</math>
▲'''Дефиниция 2.''' Функцията ''f''(''x'') има граница в дадена точка ''x''<sub>0</sub>, ако за произволно малко число <math>\epsilon > 0</math> съществува друго произволно малко число <math>\delta (\epsilon) > 0</math>, такова че от <math> 0 < | x - x_0 | < \delta (\epsilon)</math> следва <math>| f(x) - l | < \epsilon.</math>. Това се записва още така:
▲:<math>\forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0\,:\,0 < | x - x_0 | < \delta \Rightarrow | f(x) - l | < \epsilon </math>
▲[[Файл:Sinc_function.png|мини|Функцията sin''x''/''x'']]
▲'''Граница''' се въвежда и ако директното пресмятяне на стойността на функция в разглеждана точка води до неопределеност от типа 0/0. Например директното пресмятяне на стойността на функцията
▲<math>\frac{\sin x}{x}</math>
▲за <math>x = 0</math> води до резултат 0/0, който не е еднозначно дефиниран. Но ако изчислим стойността на същата функция за стойности на ''х'', близки до 0, например 0,0001, ще получим 1, т.е.
▲<math>\lim_{\Delta x \rightarrow 0}f(x) = 1</math>.
▲[[Файл:Tan.svg|мини|Функцията tg ''x'']]
▲=== Лява и дясна граница на функция ===
▲В много случаи независимата променлива ''х'' клони към ''х''<sub>0</sub> чрез растящи редици от стойности, т.е. ''отляво'', или чрез намаляващи редици от стойности, т.е. ''отдясно''. Получените граници в тези случаи се наричат '''лява''' и '''дясна''' '''граница''' на функцията в зависимост от това, дали аргументът остава съответно по-малък или по-голям от стойността, към която клони. Бележат се със:
▲<math>\lim_{ x \rightarrow x_0-}f(x)</math> за лява граница и
▲<math>\lim_{ x \rightarrow x_0+}f(x)</math> за дясна граница.
▲Лява и дясна граница се определят в случаите, когато тези две стойности са различни – тогава функцията е прекъсната в дадената точка. Например лявата и дясната граница на функцията tg ''x'' при ''х'', клонящо към 90°, са съответно +∞ и -∞.
▲=== Неистинска граница на функция ===
▲Казва се, че функцията ''f''(''x'') има '''неистинска граница''' +∞ или -∞, ако за всяко произволно голямо число ''С'' > 0 съществува такова число <math>\delta (''C'') > 0</math>, че за всички ''х'', за които <math>0 < |x - a| < \delta</math>, е изпълнено неравенството ''f''(''x'') > ''C'', съответно ''f''(''x'') < -''C''. Означава се:
▲:<math>\lim_{ x \rightarrow a} f(x)</math> = +∞, <math>\lim_{ x \rightarrow a} f(x)</math> = -∞.
▲=== Поведение на функциите в безкрайността ===
▲Поведението на дадена функция ''f''(''x'') за много големи положителни и много малки отрицателни стойности на аргумента ''х'' се определя със следните дефиниции:
▲Казва се, че
▲:<math>\lim_{ x \rightarrow \infty} f(x) = A,</math> и съответно <math>\lim_{ x \rightarrow -\infty} f(x) = A,</math>
▲ако за произволно отнапред дадено ε > 0 съществува такова достатъчно голямо ''х''<sub>0</sub> > 0, че |''f''(''x'') – ''A''| < ε за всички ''x'' > ''x''<sub>0</sub> или съответно за всички ''x'' < -''x''<sub>0</sub>.
▲С помощта на '''границата''' се определят такива основни математически понятия като [[непрекъснатост]], [[производна]] и [[интеграл]].
== Вижте също ==
| |||