Имагинерна единица: Разлика между версии
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
м замяна с n-тире |
Vodnokon4e (беседа | приноси) Редакция без резюме |
||
Ред 53:
Доколкото е [[полином]] (многочлен) от втора степен, а [[дискриминанта]]та му е различно от нула (т.е. няма повтарящи се корени), горното уравнение има ''две'' различни решения, които са еднакво валидни, а в конкретния случай и взаимно инверсни както адитивно, така и мултипликативно. По-точно, ако едното решение на уравнението сме означили с <math>i</math>, стойността −<math>i</math> (която не е равна на <math>i</math>) също е негово решение. Доколкото уравнението е единственото определение на <math>i</math>, излиза, че определението ни е двусмислено (по точно, не [[добре дефинирано]]). Въпреки това, ако изберем едното от решенията за „положително <math>i</math>", ние не получаваме противоречащи си един на друг резултати. Това е така, защото въпреки че −<math>i</math> и <math>i</math> не са ''количествено'' еквивалентни (те ''са'' отрицателни едно по отношение на друго), няма ''качествена'' разлика между <math>i</math> и −<math>i</math> (което не може да бъде казано за −1 и +1). Двете имагинерни единици имат еднакво основание да бъдат числото, чийто квадрат е −1. Ако всички публикации и учебници по математика, свързани с имагинерните или комплексните числа, бъдат пренаписани, като на всяко място, където се появява −<math>i</math>, се замести с +<math>i</math> (и следователно на всяко място, където се появява −<math>i</math>, се замести с −(−<math>i</math>) = +<math>i</math>), всички математически факти и теореми ще продължат да бъдат еднакво валидни. Разграничаването на двата корена <math>x</math> в уравнението <math>x^2 + 1 = 0</math> с означаването на единия от тях като „положителен“ е артефакт изключително на нотацията; за нито един от двата корена не може да се каже, че е по-първостепенен или фундаментален от другия.
Този резултат крие някои тънкости. По-прецизното обяснение изисква да кажем, че въпреки че комплексното [[поле (алгебра)|поле]], определено като '''R'''[''X'']/ (''X''<sup>2</sup> + 1), (виж [[комплексно число]]) е [[еднозначен|еднозначно]] до степен на [[изоморфизъм]], то ''не е'' еднозначно до степен на ''еднозначен'' изоморфизъм
Подобни резултати се получават и ако комплексните числа се интерпретират като 2 × 2 реални [[матрица (математика)|матрици]] (виж [[комплексно число]]), защото тогава както
Ред 88:
== Корен квадратен от имагинерна единица ==
Може да предположим, че ще се наложи да разширим множеството на имагинерните числа, за да въведем квадратния корен от ''i''. Това обаче не е необходимо и той може да бъде записан като което и да е от две комплексни числа <ref name="qcorner">{{икона|en}} [http://www.math.utoronto.ca/mathnet/questionCorner/rootofi.html На колко е равен квадратният корен от i?
:<math> \pm \sqrt{i} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} (1 + i) </math>
Ред 210:
== Външни препратки ==
* {{икона|en}} [http://web.archive.org/web/20070625162103/http://mathdl.maa.org/convergence/1/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=640&bodyId=1038 Трудът на Ойлер върху имагинерните корени на полиномите
{{Превод от|en|Imaginary unit|216944181}}
| |||