Разлика между версии на „Ред на Тейлър“

м
редакция без резюме
м (Bot: Automated text replacement (-( +(); козметични промени)
м
[[Файл:sintay.svg|мини|300п|Колкото по-голяма е степента на реда на Тейлър, толкова по-близо са неговите стойности до истинската функция. Тук е показана графиката на <span style="color:#333333"><math>\sin x</math></span> и развития по Тейлър от степен <span style="color:red">1</span>, <span style="color:orange">3</span>, <span style="color:yellow">5</span>, <span style="color:green">7</span>, <span style="color:blue">9</span>, <span style="color:indigo">11</span> и <span style="color:violet">13</span>.]]
 
'''Ред на Тейлър''' или р'''Развитиеазвитие по Тейлър''' е [[апроксимация]] на [[Реално число|реална]] или [[Комплексно число|комплексна]] [[функция]] чрез представянето ѝ като [[безкраен ред]] с общ член, изчислен от стойностите на [[Производна|производните]] на функцията в дадена точка. Това е възможно като пряко следствие на [[Теорема на Тейлър|теоремата на Тейлър]].
 
Ако функцията е безброй пъти диференцируема в [[интервал (математика)|отворения интервал]] (''a'' − ''r'', ''a'' + ''r''), тогава нейното развитие по Тейлър е [[степенен ред|степенният ред]]
</math>
 
''(Туктук f<sup>(n)</sup>(a) e n-тата производна на функцията, като нулевата е самата функция).''
 
Редът е кръстен на [[Англия|английския]] [[математик]] [[Брук Тейлър]]. В случаитеслучая, когато ''a'' = 0, редът се нарича '''ред на Маклорен''' пона името на [[Шотландия|шотландския]] математик [[Колин Маклорен]] (Colin Maclaurin).
 
Функции, които са точно равни на развитието си пов ред на Тейлър в произволна точка ''a'', се наричат [[аналитични функции]]. Пример за такива са [[Тригонометрична функция|тригонометричните функции]] [[Синус (математика)|синус]] и [[косинус]]. Редът на Тейлър може да се използва, за да се получат всички стойности на аналитична функция, ако се знаят нейната стойност и стойностите на всичките ѝ производни в дадена точка.
 
На графиката вдясно е илюстрирано развитието по Тейлър наза sinфункцията y = sin''x''. Жълтата крива е от седма степен и е графика на
 
:<math>\sin\left(x \right) \approx x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}. </math>
 
Редът на Тейлър се използва широко в [[приложна математика|приложната математика]] и [[математически анализ|математическия анализ]]. Някои от приложенията му са:
* Директнодиректно получаване на приблизителна стойност на функция.;
* Доказателстводоказателство на теореми от математическия анализ.
 
== История ==
Най-раннитеранното ползванияизползване на степенни редове, включително и някои развития по Тейлър, садатира от XIV век,в. от [[Индия|индийския]] математик Мадхава Сангамаграма. Той използва апроксимации по Тейлър за [[Синус (математика)|синус]], [[косинус]], [[тангенс]] и [[аркустангенс]], но не генерализира редовете.
 
В края на XVII векв. [[Джеймс Грегъри]] също работи в тази посока и публикува няколко реда на Маклорен, но също не вижда обобщението.
 
През [[1715]] г. [[Брук Тейлър]] доказва и генреализира [[Теорема на Тейлър|теоремата си]], пряко следствие на която е този обобщен ред.
 
[[Колин Маклорен]] изследва специалния случай във втората половина на XVII векв.
 
== Развитие на някои прости функции ==
* [[Експоненциална функция]] и [[естествен логаритъм|натурален логаритъм]]:
 
:<math>\mathrm{e}^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}\quad,\forall x</math>
:<math>\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}\quad, \left| x \right| < \frac{\pi}{2}</math>
 
::където ''E'' са [[числа на Ойлер]].
 
:<math>\arcsin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad, \left| x \right| < 1</math>
 
== Изчисляване ==
Има редица методи за изчисляване на реда на Тейлър за достатъчно голям брой функции. Редът може да се ползва така, както е даден за основните функции, а усилията да се насочат в генерализирането на коефициентите. Освен това, тъй като редът на Тейлър в общия случай е степенен, може да се използват неговите свойства за свободно умножение, деление, събиране и изваждане на основните редове. В някои случаи е най-доброто решение е редът да се интегрира последователно няколко пъти [[интегриране по части|по части]].
 
== Вижте също ==
15

редакции