Триъгълник: Разлика между версии
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
Заместване на съдържанието на страницата с „ТРиъгълника има 3 страни <br />{{без източници}} Категория:Три...“ Етикети: Заместване Визуален редактор |
м Бот: премахнат вероятен вандализъм на Специални:Приноси/130.204.141.121 |
||
Ред 1:
{{без източници}}
{{към пояснение|Триъгълник|Триъгълник (пояснение)}}
'''Триъгълникът''' е една от основните фигури в [[геометрия]]та. Представлява двуизмерна фигура, [[многоъгълник]] с три страни и три ъгъла. Може да се дефинира и като част от равнината, ограничена от три точки, нележащи на една права, и трите отсечки, съединяващи тези точки.
== Видове триъгълници ==
[[Файл:Euler diagram of triangle types-ru.svg|мини|300px|център|Диаграма на Ойлер за видовете триъгълници.]]
В зависимост от дължините на страните си триъгълникът може да бъде:
* '''[[Равностранен триъгълник]]''' – когато дължините на трите страни са равни. В равностранните триъгълници ъглите също са равни (всеки от тях е 60°).
* '''[[Равнобедрен триъгълник]]''' – когато дължините на две от страните са равни. Двете равни страни се наричат '''бедра''', а третата – '''основа'''. Този триъгълник има 2 равни ъгъла при основата.
* '''[[Разностранен триъгълник]]''' – когато всичките му страни са с различни дължини. Този триъгълник има три различни ъгъла.
<table align="center">
<tr align="center">
<td>[[Файл:Triangle.Equilateral.svg|Равностранен триъглъник]]</td>
<td>[[Файл:Triangle.Isosceles.svg|Равнобедрен триъгълник]]</td>
<td>[[Файл:Triangle.Scalene.svg|Разностранен триъгълник]]</td>
</tr>
<tr align="center">
<td>Равностранен</td><td>Равнобедрен</td><td>Разностранен</td>
</tr>
</table>
Според големината на най-големия си вътрешен ъгъл, триъгълникът може да бъде:
* '''[[Правоъгълен триъгълник]]''' е този триъгълник, който има ъгъл от 90°. Страната, срещулежаща на правия ъгъл, се нарича '''[[хипотенуза]]''' и е най-дългата страна във всеки правоъгълен триъгълник. Другите две страни се наричат '''[[катети]]'''.
* '''[[Тъпоъгълен триъгълник]]''' е този триъгълник, който има вътрешен ъгъл, по-голям от 90°.
* '''[[Остроъгълен триъгълник]]''' е този триъгълник, при който всички вътрешни ъгли са по-малки от 90°.
<table align="center">
<tr align="center">
<td>[[Файл:Triangle.Right.svg|Правоъгълен триъгълник]]</td>
<td>[[Файл:Triangle.Obtuse.svg|Тъпоъгълен триъгълник]]</td>
<td>[[Файл:Triangle.Acute.svg|Остроъгълен триъгълник]]</td>
</tr>
<tr align="center">
<td>Правоъгълен</td><td>Тъпоъгълен</td><td>Остроъгълен</td>
</tr>
</table>
== Основни понятия ==
Стандартните означения в произволен триъгълник са дадени на следващия чертеж:
[[Файл:Triangle.Labels.svg|250px|център|Триъгълник със стандартни означения]]
Основните понятия, свързани с триъгълниците, са представени от [[Евклид]] в книги 1 – 4 от „Елементите“ около 300 г. пр.н.е.
=== Неравенства в триъгълник ===
За страните на всеки триъгълник са изпълнени неравенствата:
* a < b + c,
* b < a + c,
* c < a + b.
=== Еднаквост на триъгълници ===
Два триъгълника са '''еднакви''', ако съответните им страни и ъгли са равни. Има четири признака за еднаквост на триъгълници:
1. Ако две страни и ъгъл заключен между тях на един триъгълник са съответно равни на две страни и ъгъла заключен между тях от друг триъгълник, то триъгълниците са еднакви (по първи признак)
2. Ако два ъгъла и страна на един триъгълник са съответно равни на два ъгъла и страна на друг триъгълник, то триъгълниците са еднакви.
3. Ако трите страни на един триъгълник са съответно равни на трите страни на друг триъгълник, то триъгълниците са еднакви.
4. Ако две страни и ъгъл срещу по-голямата от тях в един триъгълник са съответно равни на две страни и ъгъл срещу по-голямата от тях в друг триъгълник, то триъгълниците са еднакви.
Съществува един често срещан частен случай на четвъртия признак:
: Ако катет и хипотенуза в триъгълник са съответно равни на катет и хипотенуза в друг триъгълник, то двата триъгълника са еднакви.
уточнение: Третият елемент е правият ъгъл.
=== Подобие на триъгълници ===
Два триъгълника са '''подобни''', ако ъглите на единия са равни на ъглите на другия и страните, които съединяват върховете на равните ъгли, са пропорционални. Има три признака за подобни триъгълници:
1. Ако два ъгъла от един триъгълник са равни на два ъгъла от друг триъгълник, то триъгълниците са подобни.
2. Ако две страни на един триъгълник са съответно пропорционални на две страни от друг триъгълник и ъглите, заключени между тези страни, са равни, то триъгълниците са подобни.
3. Ако страните на един триъгълник са пропорционални на страните на друг триъгълник, то триъгълниците са подобни.
=== Синусова и косинусова теорема ===
Косинусова теорема:
:'''<math>c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos\gamma.</math>'''
В този си вид тя е валидна за всички триъгълници (не само за правоъгълните). С нея могат да бъдат намерени всички страни и ъгли в един триъгълник, ако са известни три от страните или две от тях и ъгъла, сключен помежду им.
Синусова теорема:
: '''<math>\frac{a}{sin\alpha}=\frac{b}{sin\beta}=\frac{c}{sin\gamma}=2R,</math>'''
където ''R'' е радиуса на описаната около триъгълника окръжност. Синусовата теорема може да се използва, за да бъдат намерени другите две страни на триъглник, ако са известни два ъгъла и третата страна.
== Точки, прави и описани окръжности ==
* '''Описана около триъгълник окръжност''' се нарича тази окръжност, която минава и през трите му върха.
[[Файл:Triangle.Circumcenter.svg|рамка|дясно|Център на описаната окръжност]]
[[Файл:Cercle circonscrit à un triangle.svg|мини|Правоъгълен, тъпоъгълен и остроъгълен триъгълник и описаните около тях окръжности]]
* '''[[Симетрала|Симетрали]]''' в триъгълник са правите линии, които са перпендикулярни на страните и минават през средите им. Трите симетрали се пресичат в точка, която е и център на описаната около триъгълника окръжност. Диаметърът на тази окръжност може да бъде намерен, като се използва синусовата теорема, посочена по-горе.
* '''[[Теорема на Талес|Теоремата на Талес]]''' гласи, че ако центърът на окръжността, описана около един триъгълник, лежи на една от страните на триъгълника, то срещуположният ъгъл на триъгълника е прав. Също така, ако центърът на описаната около триъгълника окръжност се намира във вътрешността на триъгълника, то триъгълникът е остроъгълен, а ако центърът е извън триъгълника, то триъгълникът е тъпоъгълен.
[[Файл:Triangle.Orthocenter.svg|рамка|ляво|Пресечната точка на височините се нарича ортоцентър]]
* '''[[Височина (триъгълник)|Височини]]''' в триъгълника са перпендикулярите, спуснати от върховете на триъгълника към срещуположните страни. Трите височини на всеки триъгълник се пресичат в една точка, която се нарича '''ортоцентър'''. Ортоцентърът лежи вътре в триъгълника, само ако той не е тъпоъгълен. В противен случай ортоцентърът се намира извън триъгълника.
[[Файл:Triangle.Incircle.svg|рамка|дясно|Пресечната точка на ъглополовящите е център на вписаната в триъгълника окръжност]]
* '''[[Ъглополовяща|Ъглополовящи]]''' в един тръгълник са тези прави, които минават през върховете на ъглите, като ги разполовяват. Пресечната точка на трите ъглополовящи е център на '''вписаната''' в триъгълника окръжност. Вписана е тази окръжност, за която страните на описания около нея триъгълник са допирателни. Триъгълниците имат и три външно вписани окръжности, които лежат извън триъгълника. Центровете на вътрешно вписаната и външно вписаните окръжности формират ортоцентричната система на триъгълника.
<br clear=left>
[[Файл:Triangle.Centroid.svg|рамка|ляво|Медицентърът е центърът на тежестта]]
* '''[[Медиана|Медиани]]''' в триъгълника са правите, които минават през върховете и средите на срещулежащите им страни. Трите медиани се пресичат в една точка, която се нарича '''медицентър''' на триъгълника. Медицентърът разделя всяка медиана в отношение 2:1, тоест разстоянието от върха до медицентъра е два пъти по-голямо от разстоянието от медицентъра до средата на срещулежащата страна.
[[Файл:Triangle.NinePointCircle.svg|рамка|дясно|9-точкова окръжност]]
* Средите на трите страни и петите на трите височините лежат върху една окръжност – '''[[Окръжност на деветте точки|окръжността на деветте точки]]'''. Останалите три точки са среди на отсечките от височините, които са заключени между върховете и ортоцентъра. Радиусът на тази окръжност е половината от радиуса на описаната около триъгълника окръжност.
<br clear=left>
[[Файл:Triangle.EulerLine.svg|рамка|ляво|Права на Ойлер]]
* [[Медицентър]]ът (в жълто), ортоцентърът (синьо), центърът на описаната окръжност (зелено) и центърът на 9-точковата окръжност (в червено) лежат на една права, известна като '''права на [[Леонард Ойлер|Ойлер]]''' (червената линия). Центърът на 9-точковата окръжност е средата на отсечката, свързваща ортоцентъра и центъра на описаната окръжност. Разстоянието между медицентъра и центъра на описаната окръжност е равно на половината от разстоянието между медицентъра и ортоцентъра. Центърът на вписаната окръжност не лежи на тази права.
* '''Средна отсечка''' на триъгълник е отсечка, съединяваща средите на две от неговите страни. Нейната дължина е равна на 1/2 от дължината на срещулежащата страна на триъгълника. Средната отсечка е успоредна на срещулежащата страна.
<br clear=all>
== Лице на триъгълник ==
Изчисляването на лицето на триъгълника, може да стане по няколко начина:
* Геометрично:
Лицето ''S'' на триъгълника е '''''S''''' = ½'''''bh''''', където ''b'' е дължината на която и да е негова страна, а ''h'' – височината, спусната към нея.
<table align="center">
<tr align="center"><td>[[Файл:Triangle.GeometryArea.svg|Лице на триъгълник]]</td></tr>
</table>
S=a.ha:2 S=b.hb:2 S=c.hc:2
За да се намери лицето на триъгълника (зелено), първо се прави точно негово копие (синьо), което се завърта на 180°, и то се долепва до първия триъгълник, за да се получи успоредник. След това се отрязва излишната част и се долепва от другата страна на успоредника, за да получим правоъгълник. Тъй като лицето на правоъгълника е '''''bh''''', то лицето на триъгълника е ''' ½''bh'''''.
* Векторно:
<table align="right">
<tr align="center"><td>[[Файл:Triangle.VectorArea.svg|мини|Лице на триъгълник с вектори]]</td></tr>
</table>
Лицето на успоредника ABCD може да бъде представено с помощта на векторното произведение |''AB'' × ''AC''| на векторите ''AB'' и ''AC''. |''AB'' × ''AC''|, което също е равно на |''h'' × ''AC''|, където ''h'' представлява височината ''h'', изразена като вектор.
Лицето на триъгълника ABC е половината от това и тогава ''S'' = ½|''AB'' × ''AC''|.
* С помощта на тригонометрични функции:
<table align="right">
<tr align="center"><td>[[Файл:Triangle.TrigArea.svg|Лице на триъгълник-тригонометрия]]</td></tr>
</table>
Височината на триъгълника може да бъде намерена с помощта на тригонометрията. Ако използваме означенията на четрежа вдясно, височината е ''h'' = ''a'' sin γ. Замествайки h във формулата ''S'' = ½''bh'', лицето на триъгълника може да бъде изразено като '''''S'' = ½''ab'' sin γ'''.
Лицето на успоредника е ''ab'' sin γ.
* С помощта на координатна система:
Ако върхът A (0, 0) е в началото на координатната система, а координатите на другите два върха са B = (''x''<sub>1</sub>, ''y''<sub>1</sub>) и C = (''x''<sub>2</sub>, ''y''<sub>2</sub>), тогава лицето ''S'' може да бъде изчислено като 1/2 от абсолютната стойност на детерминантата
:<math>\begin{vmatrix}x_1 & x_2 \\ y_1 & y_2 \end{vmatrix}</math>
или
''S'' = ½ |''x''<sub>1</sub>''y''<sub>2</sub> − ''x''<sub>2</sub>''y''<sub>1</sub>|.
* [[Херонова формула]]:
:<math>S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},</math>
където ''p'' = ½ (''a'' + ''b'' + ''c'') е полупериметърът на триъгълника.
== Триъгълници в неевклидови геометрии ==
Ако триъгълникът не лежи изцяло в една [[равнина (математика)|равнина]], то той се подчинява на формулите в т. нар. [[неевклидова геометрия|неевклидови геометрии]], а не на посочените по-горе. Пример за такъв триъгълник са точки от земната повърхност с 0° ш. и 0° д., 0° ш. и 90° и.д. и Северния полюс, които вместо върху равнина са върху сфера. И трите ъгъла са прави и сборът им не е 180°.
<!--Using the side lengths and a numerically stable formula===
[[Heron's formula]] is [[Numerical_stability|numerically unstable]] for triangles with a very small angle.
A stable alternative involves arranging the lengths of the sides so that:
<i>a<i> ≥ <i>b<i> ≥ <i>c<i>
and computing
:<math>S = 1/4\sqrt{(a+(b+c)) (c-(a-b)) (c+(a-b)) (a+(b-c))}</math>
The brackets in the above formula are required in order to prevent numerical instability in the evaluation.
* Non-planar triangles ==
If any four of a triangle's elements (vertices, and/or elements of its sides) are [[Distance geometry#plane|plane]] to each other, the triangle is called ''plane''. Geometers also study non-planar triangles in noneuclidean geometries, such as [[spherical triangle]]s in [[spherical geometry]] and [[hyperbolic triangle]]s in [[hyperbolic geometry]].-->
== Аналози ==
* [[Тетраедър]]
* [[Пентахрон]]
[[Категория:Триъгълници|!]]
| |||