Елипсоид на Якоби: Разлика между версии

{{обработка|оправянепроверка на превода}}

'''Елипсоидът на Якоби''' е равновесна форма, която може да заеме самогравитиращо течно тяло с равномерна плътност и въртящо се с постоянна [[ъглова скорост]], може да заема. Този [[елипсоид]] има три различни по дължина оси и носи името на [[Германци|немския]] [[математик]] [[Карл Густав Якоб Якоби]]<ref>Jacobi, C. G. (1834). Ueber die figur des gleichgewichts. Annalen der Physik, 109(8 – 16), 229 – 233.</ref>

Преди Якоби, определеният от [[Маклорен]] през 1742 г. [[сфероид]] е бил считан за единствения тип [[елипсоид]], който да е равновесен<ref>Chandrasekhar, S. (1969). ''Ellipsoidal figures of equilibrium'' (Vol. 10, p. 253). New Haven: Yale University Press.</ref> <ref>Chandrasekhar, S. (1967). Ellipsoidal figures of equilibrium—an historical account. Communications on Pure and Applied Mathematics, 20(2), 251 – 265.</ref>. През 1811 г. [[Жозеф Луи Лагранж|Лагранж]] през 1811 г. <ref>Lagrange, J. L. (1811). ''Mécanique Analytique'' sect. IV 2 vol.</ref> разглежда възможността триосният елипсоид да е в равновесие, но заключава, че двете му екваториални оси трябва да бъдатса равни, което е именно решението със сфероид на Маклорен. Якоби установилустановява, че доказванотодоказаното от Лагранж е само достатъчно, но не еи необходимо условие. Той отбелязаотбелязва: „Човек би направил сериозна грешка, ако предположи, че ротационните сфероиди са единствените допустими фигури нав равновесие дори при ограничителнотоограничаващото допускане за повърхности от втора степен“ и добавя, че: "Всъщност простото разглеждане показва, че елипсоидите с три неравни оси също така добре могат също да са равновесни форми; може да се приеме елипса с произволна форма зана екваториалното сечение и да се определятизчислят третата ос (която е най-малката)малка ос и ъгловата скорост на въртене, така, че елипсоидът да ебъде фигура нав равновесие. " <ref>Dirichlet, G. L. (1856). Gedächtnisrede auf Carl Gustav Jacob Jacobi. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 52, 193 – 217.</ref>

[[Файл:Jacobi-ellipsoid-dimensions-2.svg|дясно|мини| Екваториалните ( ''a'', ''b'' ) и полярните ( ''c'' ) главни полуоси на елипсоида на Якоби и сфероида на Маклорен, като функция на нормализирания ъглов импулс, при условие, че ''abc'' = 1 (т.е. за постоянен [[обем]] от 4π/3). <br /> Пунктирните линии са за сфероида на Маклорен в обхвата, в който той има динамична, но не и секуларна стабилност – той ще се превърне в елипсоида на Якоби, при условие че може да разсее енергията чрез вискозен състав. ]]

За елипсоид с полу-главни оси <math>a, \ b, \ c</math>a, b, c ъгловата скорост <math>\Omega</math> относно ососта <math>z</math> се дава с израза

където <math>\rho</math> е плътността и <math>G</math> е [[Гравитационна константа|гравитационната константа]], предметкато се наудовлетворява условието

За фиксирани стойности на <math>a</math> и <math>b</math>, горното условие има решение за такаваc:

Интегралите могат да бъдат изразени като непълни елиптични интеграли . <ref>Darwin, G. H. (1886). On Jacobi's figure of equilibrium for a rotating mass of fluid. Proceedings of the Royal Society of London, 41(246 – 250), 319 – 336.</ref> ОтАко гледнасе точка наизползва симетричната форма на Карлсон елиптичниятR_J за елиптичния интеграл, формулата за ъгловата скорост става

и условието за относителния размер на полу-главните оси <math>a, \ b, \ c</math> е

ЪгловиятМоментът импулсна импулса <math>L</math> на елипсоида на Якоби се дава от израза

където <math>M</math> е ''средният[[Маса|маса]]та радиус'',на елипсоида а <math>\bar{a}</math> е ''средният радиус'', радиусът на сфера със същия обем като елипсоида.