Разлика между версии на „Елипсоид на Якоби“

частична кор на превода
(редактиране)
(частична кор на превода)
{{обработка|оправянепроверка на превода}}
[[Файл:Haumea_Rotation.gif|дясно|мини| [[Хаумея (планета джудже)|Хаумея]], планета джудже с триосна елипсоидна форма. ]]
'''Елипсоидът на Якоби''' е равновесна форма, която може да заеме самогравитиращо течно тяло с равномерна плътност и въртящо се с постоянна [[ъглова скорост]], може да заема. Този [[елипсоид]] има три различни по дължина оси и носи името на [[Германци|немския]] [[математик]] [[Карл Густав Якоб Якоби]]<ref>Jacobi, C. G. (1834). Ueber die figur des gleichgewichts. Annalen der Physik, 109(8 – 16), 229 – 233.</ref>
 
== История ==
== История <ref>Chandrasekhar, S. (1969). ''Ellipsoidal figures of equilibrium'' (Vol. 10, p. 253). New Haven: Yale University Press.</ref> <ref>Chandrasekhar, S. (1967). Ellipsoidal figures of equilibrium—an historical account. Communications on Pure and Applied Mathematics, 20(2), 251 – 265.</ref> ==
Преди Якоби, определеният от [[Маклорен]] през 1742 г. [[сфероид]] е бил считан за единствения тип [[елипсоид]], който да е равновесен<ref>Chandrasekhar, S. (1969). ''Ellipsoidal figures of equilibrium'' (Vol. 10, p. 253). New Haven: Yale University Press.</ref> <ref>Chandrasekhar, S. (1967). Ellipsoidal figures of equilibrium—an historical account. Communications on Pure and Applied Mathematics, 20(2), 251 – 265.</ref>. През 1811 г. [[Жозеф Луи Лагранж|Лагранж]] през 1811 г. <ref>Lagrange, J. L. (1811). ''Mécanique Analytique'' sect. IV 2 vol.</ref> разглежда възможността триосният елипсоид да е в равновесие, но заключава, че двете му екваториални оси трябва да бъдатса равни, което е именно решението със сфероид на Маклорен. Якоби установилустановява, че доказванотодоказаното от Лагранж е само достатъчно, но не еи необходимо условие. Той отбелязаотбелязва: „Човек би направил сериозна грешка, ако предположи, че ротационните сфероиди са единствените допустими фигури нав равновесие дори при ограничителнотоограничаващото допускане за повърхности от втора степен“ и добавя, че: "Всъщност простото разглеждане показва, че елипсоидите с три неравни оси също така добре могат също да са равновесни форми; може да се приеме елипса с произволна форма зана екваториалното сечение и да се определятизчислят третата ос (която е най-малката)малка ос и ъгловата скорост на въртене, така, че елипсоидът да ебъде фигура нав равновесие. " <ref>Dirichlet, G. L. (1856). Gedächtnisrede auf Carl Gustav Jacob Jacobi. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 52, 193 – 217.</ref>
 
== Формула на Якоби ==
[[Файл:Jacobi-ellipsoid-dimensions-2.svg|дясно|мини| Екваториалните ( ''a'', ''b'' ) и полярните ( ''c'' ) главни полуоси на елипсоида на Якоби и сфероида на Маклорен, като функция на нормализирания ъглов импулс, при условие, че ''abc'' = 1 (т.е. за постоянен [[обем]] от 4π/3). <br /> Пунктирните линии са за сфероида на Маклорен в обхвата, в който той има динамична, но не и секуларна стабилност – той ще се превърне в елипсоида на Якоби, при условие че може да разсее енергията чрез вискозен състав. ]]
За елипсоид с полу-главни оси <math>a, \ b, \ c</math>a, b, c ъгловата скорост <math>\Omega</math> относно ососта <math>z</math> се дава с израза
:<math>\frac{\Omega^2}{\pi G\rho} = 2 abc \int_0^\infty \frac{udu}{(a^2+u)(b^2+u)\Delta}\ , \quad \Delta^2 = (a^2+u)(b^2+u)(c^2+u),</math>
където <math>\rho</math> е плътността и <math>G</math> е [[Гравитационна константа|гравитационната константа]], предметкато се наудовлетворява условието
:<math>a^2 b^2 \int_0^\infty \frac{du}{(a^2+u)(b^2+u)\Delta} = c^2\int_0^\infty \frac{du}{(c^2+u)\Delta}.</math>
За фиксирани стойности на <math>a</math> и <math>b</math>, горното условие има решение за такаваc:
:<math>\frac{1}{c^2}>\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}.</math>
Интегралите могат да бъдат изразени като непълни елиптични интеграли . <ref>Darwin, G. H. (1886). On Jacobi's figure of equilibrium for a rotating mass of fluid. Proceedings of the Royal Society of London, 41(246 – 250), 319 – 336.</ref> ОтАко гледнасе точка наизползва симетричната форма на Карлсон елиптичниятR<sub>J</sub> за елиптичния интеграл, формулата за ъгловата скорост става
:<math>\frac{\Omega^{2}}{\pi G \rho} = \frac{4 a b c}{3 (a^{2} - b^{2})} (a^{2} R_{J}(a^{2},b^{2},c^{2},a^{2}) - b^{2} R_{J}(a^{2},b^{2},c^{2},b^{2}))</math>
и условието за относителния размер на полу-главните оси <math>a, \ b, \ c</math> е
:<math>\frac{2}{3} \frac{a^{2} b^{2}}{b^{2} - a^{2}} (R_{J}(a^{2},b^{2},c^{2},a^{2}) - R_{J}(a^{2},b^{2},c^{2},b^{2})) = \frac{2}{3} c^{2} R_{J}(a^{2},b^{2},c^{2},c^{2}).</math>
ЪгловиятМоментът импулсна импулса <math>L</math> на елипсоида на Якоби се дава от израза
:<math>\frac{L}{\sqrt{GM^3\bar{a}}} = \frac{\sqrt 3}{10}\frac{a^2+b^2}{\bar{a}^2}\sqrt{\frac{\Omega^2}{\pi G\rho}} \ , \quad \bar{a}=(abc)^{1/3},</math>
където <math>M</math> е ''средният[[Маса|маса]]та радиус'',на елипсоида а <math>\bar{a}</math> е ''средният радиус'', радиусът на сфера със същия обем като елипсоида.
<!-- прегледано дотук -->
 
== Връзка с елипсоида на Дедекинд ==
 
== Вижте също ==
* Маклорен сфероид
* Елипсоид на Риман
* Елипсоид на Рош
* Елипсоидален проблем на Дирихле
* [[сфероид]]
* [[елипсоид]]