Уикипедия

Теорема на Бейс: Разлика между версии

Интерактивен преглед на историята
← По-стара редакцияПо-нова редакция →
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
ВизуаленУикитекст
м обозначения
м P->Pr
Ред 3:
== Формулировка ==
 
: <math>\PPr(A|B) = \frac{\PPr(B | A) \PPr(A)}{\PPr(B)}</math>,
където
: <math>\PPr(A)</math> — вероятност за настъпване на събитието ''A'';
: <math>\P(APrA|B)</math> — Условна вероятност за настъпване на събитието ''A'' при положение, че събитието ''B'' е настъпило (апостериорна вероятност);
: <math>\PPr(B|A)</math> — Условна вероятност за настъпване на ''B'' при положение, че ''A'' е настъпило;
: <math>\PPr(B)</math> — вероятност за настъпване на събитието ''B''.
 
== Извод ==
Ред 15:
За да изведем теоремата, трябва да напишем определението за [[условна вероятност]]. Вероятността за настъпване на събитието ''A'' при положение, че ''B'' вече е настъпило е:
 
:<math>P\Pr(A|B)=\frac{P\Pr(A \cap B)}{P\Pr(B)}.</math>
 
Аналогично, вероятността за настъпване на ''B'' при положение, че ''A'' се е сбъднало е:
 
:<math>P\Pr(B|A) = \frac{P\Pr(A \cap B)}{P\Pr(A)}. \!</math>
 
Като комбинираме двете уравнения, получаваме:
 
:<math>P\Pr(A|B)\, P\Pr(B) = P\Pr(A \cap B) = P\Pr(B|A)\, P\Pr(A). \!</math>
 
Тази [[лема]] понякога се намира "правило за умножение на вероятности" Остава да разделим на P(''B''), при положение, че тази вероятност не е нулева, за да получим Теоремата на Бейс:
 
:<math>P\Pr(A|B) = \frac{P\Pr(B|A)\,P\Pr(A)}{P\Pr(B)}. \!</math>
 
== Примери ==
Ред 36:
''Решение'':
 
* Означаваме с PPr(''B'') вероятността даден пациент да е болен, която според данните от задачата е равна на 0.005
* Означаваме с PPr(''Z'') вероятността даден пациент да е здрав, която е очевидно 0.995
* Означаваме с PPr(''+|B'') вероятността теста да даде положителен резултат, ако пациента е болен, т.е. 0.99
* Означаваме с PPr(''+|Z'') вероятността теста да даде положителен резултат, a пациента да е здрав, т.е. 0.01
* Означаваме с PPr(''+'') теста да даде положителен резултат, независимо дали пациентът е болен или не
* Търсената вероятност е P(''B|+'') т.е. вероятността пациентът да е болен, ако теста е положителен
 
По теоремата на Бейс:
 
:<math>P(B|+) = \frac{P\Pr(+|B)\,P\Pr(B)}{P\Pr(+)}. \!</math>
 
Вероятността PPr(''+'') е равна на вероятността теста да е положителен, независимо дали пациентът е здрав или болен. Тази вероятност е равна на вероятността теста да е положителен и пациента да е болен, плюс вероятността теста да е положителен, а пациента да е здрав.
Или:
 
:<math>P(+) = P\Pr(+ \cap B) + P\Pr(+ \cap Z) \!</math>
:<math>P(+) = P\Pr(+|B)P(B) + P\Pr(+|Z)P\Pr(Z) \!</math>
 
Или търсената вероятност е:
 
:<math>P\Pr(B|+) = \frac{P\Pr(+|B)\,P\Pr(B)}{P\Pr(+|B)P\Pr(B) + P\Pr(+|Z)P\Pr(Z)} \!</math>
:<math>P\Pr(B|+) = \frac{0.99\,\times \, 0.005}{0.99\,\times \, 0.005 + 0.01\, \times \, 0.995} \!</math>
 
или в крайна сметка:
 
:<math>P\Pr(B|+) = 0.33</math>
 
Което означава, че вероятността даден пациент да е болен, ако теста е положителен е само около 33%, което не е практично за нуждите на медицината, т.е. въпреки впечатляващите вероятности в условието, тестът е слаб. Това означава, че тестовете за болести следва да се произвеждат с точност, много по-голяма от 99%.
Взето от „https://bg.wikipedia.org/wiki/Теорема_на_Бейс“.