Правилен многоъгълник: Разлика между версии

Задачата е идентична с разделянето на окръжността на ''n'' равни части. [[Евклид]] разглеждае разгледал построяването на правилен многоъгълник в IV книга на своите „Елементи“ и решава задачата за ''n'' = 3, 4, 5, 6, 15. Той посочва първия критерий за построимост на правилен многоъгълник: Ако вече е построен правилен (2''m'' -1)-ъгълник, то правилен 2''m''-ъгълник (при ''m'' > 1) се построява чрез разделяне на окръжността на две равни части; от двете полуокръжности се построява квадрат, после правилен осмоъгълник, правилен шестнадесетоъгълник и т.н. Вторият критерий, посочен от Евклид, е: Ако е известно как да се построят правилни многоъгълници с ''r'' и ''s'' страни и ако тези числа са [[взаимно прости числа|взаимно прости]], то може да се построи и правилен многоъгълник с ''r × s'' страни. Следователно древните математици са можели да построяват правилни многоъгълници с <math>2^m \cdot {p_1}^{k_1} \cdot {p_2}^{k_2}</math> страни, където ''m'' е цяло неотрицателно число, ''p''₁, ''p''₂ са числата 3 и 5,''k''₁, ''k''₂ лриемат стойности 0 или 1.

където ''k''₀ е цяло неотрицателно число, ''k''₁, ''k''₂,...,''k''_''s'' приемат стойности 0 или 1, а ''p''_''j'' са прости числа на Ферма. През 1836 г. [[Пиер-Лоран Ванцел]] доказва, че това условие не е само достатъчно, а и необходимо, като това става известно като теоремата на Гаус-Ванцел. Тъй като възможните произведения от пет различни множителя са 31, с оглед известните числа на Ферма, това е и броят на построимите многоъгълници с нечетен брой страни.