Правилен многоъгълник: Разлика между версии

Съществуват неограничен брой построими правилни многоъгълници, като са известни само 31 с [[Четност|нечетен]] брой страни. Изчерпателното решение на задачата за построение на правилен ''n''-ъгълник зависи от намирането на доказателство за броя на простите [[Число на Ферма|числа на Ферма]].
 
Задачата е идентична с разделянето на окръжността на ''n'' равни части. [[Евклид]] е разгледал построяването на правилен многоъгълник в IV книга на своите „Елементи“ и решава задачата за ''n'' = 3, 4, 5, 6, 15. <ref>Евклид, ''Елементи'', кн.4., София: Наука и Изкуство, 1972.</ref>Той посочва първия критерий за построимост на правилен многоъгълник: aко вече е построен правилен <math>2^{m-1}</math>-ъгълник, то правилен <math>2^m</math>-ъгълник (при ''m'' > 1) се построява чрез раздполовяване на съответните дъги. Така от две полуокръжности се построява квадрат, после правилен осмоъгълник, правилен шестнадесетоъгълник и т.н. Вторият критерий, посочен от Евклид, е: Ако е известно как да се построят правилни многоъгълници с ''r'' и ''s'' страни и ако тези числа са [[взаимно прости числа|взаимно прости]], то може да се построи и правилен многоъгълник с ''r × s'' страни. Простите числа, освен 2, за които решението е известно са 3 и 5, така че древните математици са можели да построяват правилни многоъгълници с <math>2^m \cdot {p_1}^{k_1} \cdot {p_2}^{k_2}</math> страни, където ''m'' е цяло неотрицателно число, ''p''<sub>1</sub>, ''p''<sub>2</sub> са числата 3 и 5,''k''<sub>1</sub>, ''k''<sub>2</sub> лриемат стойности 0 или 1, т.е. броят на страните ще е 3, 5, 6, 10, 12, 15, ...
 
През Средновековието математиката не постига напредък в тази област. Едва през 1796 г. [[Гаус]] доказва, че ако броят на страните на правилния многоъгълник е [[просто число на Ферма]] (известни са само пет: 3, 5, 17, 257 и 65 537), той може да бъде [[Построения с линийка и пергел|построен с линийка и пергел]]. Оттук следва, че правилен многоъгълник може да бъде построен, ако броят на страните му е равен на
Анонимен потребител