Правилен многоъгълник: Разлика между версии

[[Файл:Constructible polygoon set.svg|мини|Брой страни (до 1000) на известните построими многоъгълници, в червено са всички известни нечетни]]

Задачата е идентична с разделянето на окръжността на ''n'' равни части. [[Евклид]] е разгледал построяването на правилен многоъгълник в IV книга на своите „Елементи“ и решава задачата за ''n'' = 3, 4, 5, 6, 15. <ref>Евклид, ''Елементи'', кн.4., София: Наука и Изкуство, 1972.</ref> Той посочва първия критерий за построимост на правилен многоъгълник: aко вече е построен правилен <math>2^{m-1}</math>-ъгълник, то правилен <math>2^m</math>-ъгълник (при ''m'' > 1) се построява чрез раздполовяванеразполовяване на съответните дъги. Така от две полуокръжности се построява квадрат, после правилен осмоъгълник, правилен шестнадесетоъгълник и т.н. Вторият критерий, посочен от Евклид, е: Акоако е известно как да се построят правилни многоъгълници с ''r'' и ''s'' страни и ако тези числа са [[взаимно прости числа|взаимно прости]], то може да се построи и правилен многоъгълник с ''r × s'' страни. Простите числа, освен 2, за които решението е известно са 3 и 5, така че древните математици са можели да построяват правилни многоъгълници с <math>2^m \cdot {p_1}^{k_1} \cdot {p_2}^{k_2}</math> страни, където ''m'' е цяло неотрицателно число, ''p''₁, ''p''₂ са числата 3 и 5,''k''₁, ''k''₂ лриематприемат стойности 0 или 1, т.е. броят на страните ще е 3, 5, 6, 10, 12, 15, ..… .

:<math>2^{k_0}{p_1}^{k_1}{p_2}^{k_2}\cdots{p_s}^{k_s}, </math>

където ''k''₀ е цяло неотрицателно число, ''k''₁, ''k''₂,...,''k''_''s'' приемат стойности 0 или 1, а ''p''_''j'' са различни прости числа на Ферма. През 1836 г. [[Пиер-Лоран Ванцел]] доказва, че това условие не е само достатъчно, а и необходимо, като това става известно като теоремата на Гаус-Ванцел. Тъй като броят на възможните произведения от пет различни(известните множителяпрости сачисла 31,на сФерма) огледразлични известнитемножителя, числаучастващи напо Фермаведнъж, е 31, това е и броят на построимите многоъгълници с нечетен брой страни.