Тор (геометрия): Разлика между версии
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
мРедакция без резюме |
|||
Ред 18:
</math>
Тук ''R'' е разстоянието от центъра на окръжността до оста на въртене, ''r'' –
Непараметричното уравнение със същите координати и същите радиуси е на четвърта степен:
Ред 31:
<math> \ V=2 \pi^2 R r^2, </math>
== Доказателство ==
Има няколко доказателства на тази формула, едно от които е изложено тук
Ако разсечем тора през някое от надлъжните му сечения (показано с лилаво) на разстояние ''z'' от средното надлъжно сечение, ще получим сложна геометрична фигура, чието лице е разлика от две концентрични окръжности, а именно:
Line 77 ⟶ 78:
<math> \ S= 4 \pi R \sqrt{r^2-z^2} </math>
Ако сумираме обемите на всички надлъжни сечения ще получим обема на фигурата, чиито сечения сумираме. Тъй като обем на надлъжно сечение е елементарен обем, тоест клони към 0, а сеченията са безброй много, няма да можем да извършим тази операция със стандартно сумиране
<math> \ V= \int\limits_{-r}^{r} S(z)\, dz </math>
Line 89 ⟶ 90:
<math> \ V= 4 \pi R \int\limits_{-r}^{r} \sqrt{r^2-z^2}\, dz </math>
Решението на интеграла от горния израз ще даде пълният вид на формулата за обем на тор
<math> \ \int\limits_{-r}^{r} \sqrt{r^2-z^2}\, dz </math>
Line 105 ⟶ 106:
<math>{d \sqrt{r^2-z^2} \over d(r^2-z^2)} {d(r^2-z^2) \over dz}</math>
Чрез непосредствено [[таблица на производни|таблично диференциране]] и следващо умножение на производните получаваме
<math> \ {du \over dz}={1 \over 2(r^2-z^2)}({dr^2 \over dz^2} - {dz^2 \over dz})={1 \over 2(r^2-z^2)}(0-2z)={-2z \over 2(r^2-z^2)}=-{z \over (r^2-z^2)}</math>
| |||