Обикновено диференциално уравнение: Разлика между версии
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
м замяна с n-тире |
Редакция без резюме |
||
Ред 1:
'''Обикновено диференциално уравнение''' ('''ОДУ''') е [[диференциално уравнение]], съдържащо една или повече функции на независима променлива и [[Производна|производните]] на тези функции.<ref>{{cite book|author=Dennis G. Zill|title=A First Course in Differential Equations with Modeling Applications|url=https://books.google.com/books?id=pasKAAAAQBAJ&printsec=frontcover#v=snippet&q=%22ordinary%20differential%22&f=false|date=15 март 2012|publisher=Cengage Learning|isbn=1-285-40110-7}}</ref> Определението „обикновено“ се използва в контраст с термина [[частно диференциално уравнение]], което може да се решава спрямо повече от една независима променлива.<ref>{{cite web|url=http://hsm.stackexchange.com/a/5032/1772|title=What is the origin of the term „ordinary differential equations“?|accessdate=28 юли 2016|website=hsm.stackexchange.com |publisher=Stack Exchange }}</ref>
== Определение за ОДУ от <math>n</math>-ти ред. Определение за СОДУ ==▼
Уравнение от вида <math>F(x,y,y^{'},...,y^{(n)})=0</math>, където <math>x</math> е независима променлива, <math>y</math> е неизвестна функция, а <math>y^{'},...,y^{(n)}</math> са нейните производни до ред <math>n</math>, се нарича '''обикновено диференциално уравнение''' (ОДУ) от <math>n</math>-ти ред.<ref>Математика, доц. д-р Добромир Тодоров и гл. ас. Кирил Николов, УНСС, София, 2009</ref>
== Хомогенни диференциални уравнения ==
Важна роля в приложните научни дисциплини играят диференциалните уравнения от типа:
Line 7 ⟶ 10:
</math>,
:където <math>a</math> и <math>b</math> могат да са функции на <math>x</math> или константи.
За удобство при решаването на това интегрално уравнение <math>n</math>-тата производна спрямо <math>x</math> се обозначава с <math>D^{n}</math>.
Ползвайки този оператор <math>D</math> горното диференциално уравнение може да се запише като:
: <math>{a_0D^ny + a_1D^{n-1}y+...+a_{n-1}Dy + a_ny = b}.</math>
Ако <math>b=0</math>, горното линейно диференциално уравнение се нарича хомогенно. Ако <math>b \ne 0</math>, уравнението се нарича нехомогенно.
=== Решение на хомогенни диференциални уравнения от втори ред ===
:<math>a{{d^2 y} \over {dx^2}} + b{{dy} \over {dx}}+cy =0
</math>
:При решението на диференциални уравнения от втори и по-висок ред ползваме оператора D – имащ значение на диференциране спрямо х.
Да поясним какво е значението на този оператор:
Line 33 ⟶ 40:
Полагаме
:<math> z= (D-y_2)y </math>, където <math>(D-y_2)y</math> е функция на х.
Тогава цялото диференциално уравнение се свежда до:
:<math>(D-y_1)z =0 </math>
Line 47 ⟶ 55:
: <math>(D-y_2)y = C_1.e^{y_1.x} </math>
Това е линейно диференциално уравнение от първи ред.
Line 54 ⟶ 61:
<math>y'-y_2.y= C_1 .e^{y_1.x} </math>
<math>(y.e^{-y_2.x})'= y'e^{-y_2.x} - y. e^{-y_2.x}.y_2=e^{-y_2.x}.(y' - y_2.y)</math>
<math>y'-y_2.y= (y.e^{-y_2.x})'.e^{y_2.x} =
<math>(y.e^{-y_2.x})' = C_1 .e^{y_1.x}.e^{-y_2.x} = C_1 .e^{(y_1 -y_2).x} </math>▼
интегрираме и получаваме следното решение:
<math>y.e^{-y_2.x}=
Преобразуваме:
:<math>y=
Когато <math>y_{1}</math> и <math>y_{2}</math> са реални числа, решението за функцията <math>y</math> е:
| |||