Логаритъм: Разлика между версии
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
добавки по ен: Етикет: добавен етикет nowiki в статията |
добавки по ен: |
||
Ред 246:
=== Интегрално представяне на естествения логаритъм ===
{{раздел-мъниче}}
[[Файл:Natural logarithm integral.svg|мини|[[Естествен логаритъм|Естественият логаритъм]] от ''{{Mvar|t}}'' е затъмнената площ под графиката на функцията {{math|1=''f''(''x'') = 1/''x''}} (реципрочната стойност на {{mvar|x}})]]
[[Естествен логаритъм|Естественият логаритъм]] от ''{{Mvar|t}}'' е равен на определения [[интеграл]] на {{Mvar|1/x}} {{Mvar|dx}} от 1 до {{Mvar|t}}:
:<math>\ln (t) = \int_1^t \frac{1}{x} \, dx.</math>
С други думи, {{math|ln(''t'')}} се равнява на площта между оста {{mvar|x}} и графиката на функцията {{math|1/''x''}} в интервала от {{math|1=''x'' = 1}} до {{math|1=''x'' = ''t''}}. Това следва от [[фундаментална теорема на анализа|фундаменталната теорема на анализа]] и факта, че производната на {{math|ln(''x'')}} е {{math|1/''x''}}. Дясната страна на това равенство може да служи за дефиниция на естествения логаритъм. От нея могат да се изведат формулите за логаритъм от произведение и степен.{{hrf|Courant|1988|}} Например, формулата за произведение {{math|1=ln(''tu'') = ln(''t'') + ln(''u'')}} се извежда като:
:<math> \ln(tu) = \int_1^{tu} \frac{1}{x} \, dx \ \stackrel {(1)} = \int_1^{t} \frac{1}{x} \, dx + \int_t^{tu} \frac{1}{x} \, dx \ \stackrel {(2)} = \ln(t) + \int_1^u \frac{1}{w} \, dw = \ln(t) + \ln(u).</math>
Равенство (1) разделя интеграла на две части, а равенство (2) е смяна на променливата ({{math|1=''w'' = {{mvar|x}}/''t''}}). В долната илюстрация разделянето съответства на разделяне на площта на жълта и синя част. Разтягането вертикално на синята фигура с коефициент ''t'' и свиването ѝ със същия коефициент хоризонтално не променя нейната площ. След като се измести съответно наляво, площта отново е ограничена отгоре от графиката на функцията {{math|1=''f''(''x'') = 1/''x''}}. Така лявата синя фигура, която е интеграл на {{math|''f''(''x'')}} от ''t'' до ''tu'' е със същата площ, като дясната синя фигура, която е интеграл на същата функция от 1 до ''u''. Това е геометрична илюстрация на равенство (2).
[[Файл:Natural logarithm product formula proven geometrically.svg|мини|center|500п|Графична демонстрация на формулата за натурален логаритъм от произведение]]
=== Трансцендентност ===
Line 269 ⟶ 281:
* {{cite | фамилия-част = Bukhshtab | име-част = A.A. | съавтори-част = V.I. Pechaev | заглавие-част = Arithmetic | url = http://eom.springer.de/A/a013260.htm | фамилия = Hazewinkel | име = Michiel | заглавие = Encyclopaedia of Mathematics | издател = Springer | дата = 2001 | isbn = 978-1556080104 | език = en}}
* {{cite book | last = Campbell-Kelly | first = Martin | title = The history of mathematical tables: from Sumer to spreadsheets | publisher = Oxford University Press | series = Oxford scholarship online | isbn = 978-0198508410 | year = 2003 | lang = en }}
* {{cite book | last = Courant | first = Richard | title = Differential and integral calculus. Vol. I | publisher = John Wiley & Sons | location = New York | series = Wiley Classics Library | isbn = 978-0-471-60842-4 | mr = 1009558 | year = 1988 | lang = en}}
* {{Cite book | last = Devlin | first = Keith | title = Sets, functions, and logic: an introduction to abstract mathematics | publisher = Chapman & Hall/CRC | location = Boca Raton, Fla | edition = 3rd | series = Chapman & Hall/CRC mathematics | isbn = 978-1-58488-449-1 | year = 2004 | url = https://books.google.com/books?id=uQHF7bcm4k4C | lang = en }}
* {{cite book | last = Dieudonné | first = Jean | title = Foundations of Modern Analysis | volume = 1 | year = 1969 | publisher = Academic Press | lang = en }}
| |||