Дзета-функция на Риман: Разлика между версии
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
м замяна с n-тире |
м без интервал |
||
Ред 11:
</math>
Този ред е [[ред на Дирихле]] и е сходящ за всички [[реално число|реални числа]] ''s''> 1. Функцията може да се додефинира за всички комплексни ''s'' ≠ 1 с помощта на [[аналитично продължение]]. Риман показва това в статията си ''„Относно броя на простите числа по-малки от дадено число“'' през [[1859]] година. Той прави това на две стъпки. Първо Риман показва че редът е сходящ за всичи комплексни ''s'' с реална част Re(''s'') по-голяма от 1 и дефинира [[аналитична функция]] на проенливата ''s'' в областта {''s'' ∈ '''C''': Re(''s'') > 1} След това той показва как да продължи ζ(''s'') за всички комплексни ''s'' различни от 1. В резултат дзета-функцията се превръща в [[мероморфна функция]] на
''s'', която е [[холоморфна функция|холоморфна]] в областта {''s''∈'''C''':''s''≠ 1} и има [[прост полюс]] в ''s''=1. Аналитичното продължение дефинира еднозначно функцията ζ(''s'') извън първоначалната област на сходимост. В допълнение на това, Риман извежда и [[функционално уравнение]] за дзета-функцията, което дава връзка между стойността ѝ в точките ''s'' и 1
== Отношение към простите числа ==
Ред 99:
което е изпълнено за всички комлпексни числа ''s'' освен 0 и 1. Тук, с Γ е обозначена [[гама-функция]]та. Тази формула се използва за построяване на аналитичното продължение на дзета-функцията. В точката ''s'' = 1, функцията има прост
[[полюс (комплексен анализ)|полюс]] с [[резидуум]] 1. Равенството също показва, че дзета-функцията има нули в точките
−2,
Съществува и симетричен вариант на функционалното уравнение. Той се получава като първо се дефинира функцията
| |||