Разлика между версии на „Математически анализ“

м
без   интервал
м (унифициране на раздел Вижте още към Вижте също)
м (без   интервал)
 
{{основна|Производна}}
 
[[Файл:Sec2tan.gif|мини|300п|Производната ''f′''(''x'') на дадена крива в определена точка е [[Наклон (математика)|наклонът]] на допирателната към кривата в тази точка. Наклонът се определя чрез граничната стойност на наклоните на секущите в близост до точката. На графиката в червено е показана функцията ''f''(''x'')&nbsp; =&nbsp; ''x''<sup>3</sup>&nbsp; &nbsp; ''x''. В зелено е допирателната през точката (−3/2, −15/8), която има наклон 23/4. Вертикалният и хоризонталният мащаб в графиката са различни.]]
 
Една от основните подобласти на математическия анализ е [[Диференциално смятане|диференциалното смятане]], което изследва диференцирането, процесът на получаване на [[производна]]та на дадена функция. Производната на дадена функция в определена точка от нейното дефиниционно множество характеризира дребномащабното поведение на функцията в тази точка, отразявайки промяната в нейната стойност при много малко изменение на нейния аргумент.
 
Например, ако ''f'' е функция, ''a'' е число от нейното дефиниционно множество, а ''h'' е число близко до 0, тогава ''a'' е близко до ''a''&nbsp; +&nbsp; ''h'', а ''f''(''a'') е близко до ''f''(''a''&nbsp; +&nbsp; ''h''), а наклонът на графиката на функцията между тези две точки е:
 
:<math>m = \frac{f(a+h) - f(a)}{(a+h) - a} = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}</math>
 
Този израз се нарича [[диференчно частно]]. Правата, преминаваща през двете точки от графиката на функцията се нарича [[секуща]], така че ''m'' е наклонът на секущата между точките (''a'', ''f''(''a'')) и (''a''&nbsp; +&nbsp; ''h'', ''f''(''a''&nbsp; +&nbsp; ''h'')). Секущата е само приближение на поведението на функцията в точката ''a'', тъй като тя не отчита какво става между ''a'' и ''a''&nbsp; +&nbsp; ''h''. Тъй като е невъзможно ''h'' де се приеме за 0, защото това би довело до деление на 0, производната се дефинира като границата на израза, когато ''h'' клони към 0:
 
:<math>\lim_{h \to 0}{f(a+h) - f(a)\over{h}}</math>
 
Например, производната на функцията ''f''(''x'')&nbsp; =&nbsp; ''x''<sup>2</sup> в точката ''a''&nbsp; =&nbsp; 3 се изчислява по следния начин:
 
:<math>\lim_{h \to 0}{(3+h)^2 - 3^2\over{h}} = \lim_{h \to 0}{9 + 6h + h^2 - 9\over{h}} = \lim_{h \to 0}{6h + h^2\over{h}} = \lim_{h \to 0} (6 + h) = 6
</math>
 
Чрез определянето на производната на функцията във всяка точка от нейното дефиниционно множество се получава нова функция – за разлика от функциите, при които аргументът и резултатът са числа, диференцирането представлява [[линеен оператор]] с аргумент изходната функция и резултат нейната производна функция. Например, ако изходната функция е ''f''(''x'')&nbsp; =&nbsp; ''x''<sup>2</sup>, резултатът от диференцирането ще е друга функция: ''g''(''x'')&nbsp; =&nbsp; 2''x''.
 
Съществуват няколко различни конвенции за означаване на производните, като най-често се използват тези на Лайбниц и Лагранж: