Теорема на Болцано-Вайерщрас (за безкрайните редици): Разлика между версии
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
м Робот Добавяне {{без източници}} |
м излишен празен ред; козметични промени |
||
Ред 3:
'''Теоремата на [[Бернард Болцано|Болцано]] - [[Карл Вайерщрас|Вайерщрас]] (за безкрайните редици)''' гласи, че: Всяка безкрайна и ограничена редица <math>r: \N\to\R</math> притежава сходяща подредица.
=== Доказателство ===
Нека <math> r: \N\to\R </math> и <math> \forall n\in\N \;\;
a \le r_n \le b </math>
Ред 12:
Тогава обединението <math>\Omega = \cup U_x </math> е покритие на интервала <math>\left[ a;b \right]</math>. От теоремата на Хайне - Борел следва, че <math>\Omega</math> има крайно подпокритие <math>\Omega ^ \prime</math>, състоящо се от краен брой интервали, всеки от които съдържа само краен брой членове на <math>r</math>. Но <math>r</math> има безбройно много членове в интервала <math>\left[ a;b \right]</math>, което е противоречие и следователно <math>r</math> има точка на сгъстяване. С това теоремата е доказана.
Тази теорема е доказана от чешкия
[[Категория:Теореми|Болцано-Вайерщрас (за безкрайните редици)]]
| |||