Интеграл: Разлика между версии
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
Редакция без резюме Етикети: Редакция чрез мобилно устройство Редакция чрез мобилно приложение |
Преработени формули с интеграли. Добавено "\limits" след "\int" за коректно представяне на границите на интеграла. Формулите са базирани на LaTeX и след "\int", "\sum" и "\lim" се добавя "\limits". Етикети: Визуален редактор Редакция чрез мобилно устройство Редакция чрез мобилно приложение |
||
Ред 44:
Нека <math>F</math> е примитивна на <math>f</math> в <math>J</math> и <math>x_0 \in J</math> е фиксирана точка от интервала <math>J</math>. Тогава функцията <math>\Phi</math> определена от <math>\Phi \left(x \right) = F \left(x \right) - F \left(x_0 \right)</math>, е също примитивна на <math>f</math> в <math>J</math>, която удовлетворява условието <math>\Phi \left(x_0 \right) = 0</math>. За тази примитивна е запазено специално означение, а именно:
<math display="block">\
В подинтегралния израз <math>f \left(t \right)\, dt</math> променливата <math>t</math> я ''няма'', т.е. тя може да се замести с всяка друга променлива, например:
<math display="block">\
Не е трудно да построим примитивна <math>\Psi</math> на <math>f</math>, удовлетворяваща условието <math>\Psi \left(x_0 \right) = y_0</math>, където <math>y_0 \in \mathbb{R}</math> е произволно число. Очевидно това е функцията, определена от:
<math display="block">\Psi \left(x \right) = y_0 + \
Ако <math>a, b \in J \left(a < b \right)</math>, числото:
<math display="block">I = \
се нарича '''''определен интеграл по Нютон''''' ([[Исак Нютон]], английски математик и физик, 1643 – 1727) от функцията '''''f''''' в интервала <math>\left[ a, b \right]</math>. Когато съществуват които и да са два определени интеграла от една и съща функция в даден интервал, те са равни помежду си. Възможно е обаче някои от определените интеграли да не съществуват. Това именно е довело до въвеждането на различни понятия за определен интеграл. Изобщо, на дадена функция <math>f : J \rightarrow \mathbb{R}</math> и на даден подинтервал <math> \left[ a, b \right] \sub J</math> можем да съпоставим величината:
Ред 64:
Тази величина ще наричаме ''определен интеграл'' от функцията <math>f</math> в интервала <math>\left[ a, b \right]</math>, ако са изпълнени някои условия, например:
# Линейност: Ако <math>f, g : J \rightarrow \mathbb{R}</math> и <math>\alpha, \beta</math> са числа, то <math display="block">I \left(\alpha f + \beta g, \left[ a, b \right] \right) = \alpha I \left(f, \left[ a, b \right] \right) + \beta I\left(g, \left[ a, b \right] \right)</math> където функцията <math> \alpha f + \beta g </math> е определена от <math>x \rightarrow \alpha f(x)+\beta g(x)</math>.<br>
# Адитивност: Ако <math>c \in \left[ a, b \right]</math>, то <math display="block">I(f,\left[a,c\right])+I(f,\left[c,b\right])=I(f,\left[a,b\right])</math> В частност, ако <math>a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b</math> е разбивка на интервала <math>\left[a, b\right]</math>, то <math display="block">I(f,\left[a,b\right])=\
# Нетривиалност: Ако означим с '''1''' постоянната функция <math>x \rightarrow 1</math>, то <math display="block">I(1,\left[a,b\right])=b-a</math>
Ред 95:
Съгласно свойствата 1)-3) можем да определим обобщения интеграл по Нютон от <math>\textstyle{f}</math> в интервала <math>\textstyle{[a,b]}</math> като:
<math display="block">I = \
Остава да покажем, че съществува обобщена примитивна <math>\textstyle{F}</math> на <math>\textstyle{f}</math> в интервала <math>\textstyle{[a,b]}</math>, такава че <math>\textstyle{I = F(b)-F(a)}</math>.
| |||