Уикипедия

Многообразие: Разлика между версии

Интерактивен преглед на историята
← По-стара редакцияПо-нова редакция →
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
ВизуаленУикитекст
м излишен празен ред
Редакция без резюме
Ред 1:
[[Файл:Triangle_on_globe.jpg|мини|300px|Върху сфера, сумата на ъглите на един триъгълник не е равна на 180°. Сферата не е евклидово пространство. Локално, обаче, законите от евклидовата геометрия са добри приближения. Сумата от ъглите на малък триъгълник върху повърхността на земята е много близка до 180°. Сферата може да се представи като съвкупност от двумерни карти, следователно сферата е многообразие.]]
 
В [[математика]]та, '''многообразие''' е [[топологично пространство|пространство]], което "отблизо"„отблизо“ прилича на пространствата описани в [[евклидова геометрия|евклидовата геометрия]], но което глобално може да има много по-сложна структура. ([[Евклидово пространство|Евклидовите пространства]], обаче, също са многообразия.). Важно при разглеждане на многообразията е понятието [[размерност]]. Например, [[права]]та е едномерно, а [[Равнина (математика)|равнината]] – двумерно многообразие.
 
В едномерните многообразия всяка точка има околност, която прилича на отсечка. Примери за едномерни многообразия са правата, [[окръжност]]та, или двойка окръжности. В двумерните многообразия околността на всяка точка прилича на [[кръг]]. Пример за такива са равнината, повърхността на [[сфера]]та, повърхността на [[Тор (геометрия)|тора]]. Размерността може и да е по-голяма, например [[пространство-време]]то в [[обща теория на относителността|общата теория на относителността]] е четиримерно многообразие.
Ред 8:
 
Често се дефинират допълнителни структури върху многообразия. Примери за многообразия с допълнителна структура са [[диференцируемо многообразие|диференцируемите многообразия]], върху които може да се използва [[диференциално и интегрално смятане]], [[Риманово многообразие|римановите многообразия]] върху които могат да се дефинират понятията дължина и ъгъл, [[симплектично многообразие|симплектичните многообразия]] които служат за [[фазово пространство|фазови пространства]] в [[класическа механика|класическата механика]], и четиримерните [[Псевдориманово многообразие|псевдориманови многообразия]] които моделират [[пространтво-време|пространство-времето]] в [[обща теория на относителността|общата теория на относителността]].
 
<!-- The study of manifolds makes essential use of techniques from [[mathematical analysis]] and [[topology]].-->
 
== Мотивационен пример: окръжност ==
Line 21 ⟶ 19:
Такава функция се нарича ''карта''. Аналогично могат да се дефинират карти за долната (червена), лявата (синя), и дясната (зелена) части на окръжността. Заедно тези части покриват цялата окръжност, а четирите карти образуват [[Атлас (топология)|атлас]] на многообразието.
 
Горната и дясната карта се препокриват: тяхното сечение представлява четвъртината от окръжността за която ''x''- и ''y''-координатите са едновременно положителни. Двете карти χ<sub>top</sub> и χ<sub>right</sub> изобразяват тази част биективно в интервала (0, 1). Следователно може да се конструира функция ''T'' от (0, 1) в себе си, която първо обръща жълтата карта и изпраща точката в окръжността, и след това прослвдявапроследява зелената карта и се връща пак в интервала:
:<math> T(a) = \chi_{\mathrm{right}}\left(\chi_{\mathrm{top}}^{-1}(a)\right) = \chi_{\mathrm{right}}\left(a, \sqrt{1-a^2}\right) = \sqrt{1-a^2}. </math>
Такава функция се нарича ''функция на прехода''.
Line 40 ⟶ 38:
Многообразията не е нужно да са [[свързано пространство|свързани]] (състоящи се от едно парче): двойка отделни окръжности също е топологично многообразие. Не е и нужно те да са [[затворено множество|затворени]]: отсечка без краищата си е многообразие. Многообразията не е нужно да са ограничени: [[парабола]]та е пример за неограничено многообразие. Други примери са [[хипербола]]та и множеството от точките, които са решение на кубичното уравнение ''y''² – ''x''³ + ''x'' = 0, което не е нито свързано, нито затворено, нито ограничено.
 
Обаче, примери като две допиращи се окъжностиокръжности, които образуват 8 не са многообразия, защото не може да се конструира задоволителна карта изпращаща околност на общата точка в отворен интервал. <!-- Който разбира това да го преведе (A different view is taken in [[algebraic geometry]], where [[complex number|complex]] points on the quartic curve ((''x'' − 1)² + ''y''² − 1)((''x'' + 1)² + ''y''² − 1) = 0, whose [[real number|real]] points alone form a pair of circles touching at the origin, are considered.) -->
 
От гледна точка на диференциалното смятане, функцията на прехода ''T'' е функция между два отворени интервала, която е [[производна|диференцируема]]. Същото е вярно и за другите функции на прехода в атласа. Следователно с този атлас, окръжността се превръща в ''[[диференцируемо многообразие]]''. Всъщност тя е още ''гладко'' и ''аналитично''.
 
Окръжността също притежава свойства, които позволяват тя да се разглежда като по-особен тип многообразие. По нея могат да се мерят растоянияразстояния между точки: дължината на дъгата между две точки. Следователно тя е и ''[[риманово многообразие]]''.
 
== Математическа дефиниция ==
Line 51 ⟶ 49:
 
Има много различни видове многообразия. Най-простите са [[топологично многообразие|топологичните многообразия]], които локално изглеждат като [[евклидово пространство|евклидови пространства]]. Всъщност горната дефиниция е дефиниция точно на понятието ''топологично многообразие''. Други типове многообразия имат допълнителна структура.
 
== Литература ==
* Грозьо Станилов, ''Диференциална геометрия'', София (изд. Тилия) 1997 ISBN 954-8706-73-3
Взето от „https://bg.wikipedia.org/wiki/Многообразие“.